Il existe un ensemble de nombres plus grand que ℝ, l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, dans lequel on peut aussi définir les quatre opérations pour pouvoir effectuer des calculs algébriques.
I. Forme algébrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique z=a+ib où a et b sont deux nombres réels, et où le nombre i vérifie i2=− 1.
L’écriture a + ib est la forme algébrique du nombre complexe z.
On note a=Rez la partie réelle de z, et b=Imz la partie imaginaire de z.
Soient deux nombres complexes z=a+ib et z′=a′+ib′, où a, b, a′, b′ sont quatre nombres réels. L’unicité de la forme algébrique se traduit par l’équivalence :
z = z′⇔ a = a′ et b = b′
Cas particuliers :
Si b=0, z est un nombre réel.
Si a=0 (et b≠0), z est un imaginaire pur.
II. Opérations et règles de calcul dans ℂ
Soient les deux nombres complexes z=a+ib et z′=a′+ib′, avec a, b, a′, b′ quatre nombres réels.
Tout nombre complexe admet un opposé dans ℂ.
L’opposé de z est le nombre complexe − z=− a−bi.
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse dans ℂ, noté 1z.
On définit les opérations dans ℂ de la façon suivante :
z+z′=a+a′+ib+b′
z×z′=aa′−bb′+iab′−a′b
z−z′=a−a′+ib−b′
zz′=z×1z′, avec z′≠0
On a les identités remarquables :
À noter
D’une façon générale, les règles de calcul connues dans ℝ s’appliquent aussi dans ℂ en tenant compte de i2 = −1.
Pour tout n∈ℕ, on a la formule du binôme de Newton :
z+z′n=∑k=0nnkzn−kz′k=n0zn+n1zn−1z′1+n2zn−2z′2+…+nn−1z1z′n−1+nnz′n
III. Nombres complexes conjugués
Le nombre complexe conjugué de z=a+ib, a ; b∈ℝ2, est le nombre complexe a−ib. On note z¯=a+ib¯=a−ib.
Cas particuliers :
z¯=z si et seulement si z est un nombre réel.
z¯=− z si et seulement si z est un nombre imaginaire pur.
Soient z et z′ deux nombres complexes.
z¯¯=z
z+z′¯=z¯+z′¯
zz′¯=z¯z′¯
1z¯=1z¯z≠0
zz′¯=z¯z′¯z′≠0
zn¯=z¯nz≠0, n∈ℤ
Méthode
Calculer avec des nombres complexes
a. Calculer z=2+3i1+4i¯−5+2i.
b. Donner la forme algébrique du nombre complexe z′ =1+2i− 4+i2+i.
c. Soit α=1+i2. Démontrer que α2−5α=3α¯−9.
Conseils
a. Donnez l’expression du nombre complexe conjugué, puis effectuez la multiplication en utilisant les mêmes règles de calcul que dans ℝ, mais en tenant compte du fait que i2 = −1.
b. Développez et réduisez le numérateur, puis multipliez le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur (astuce à connaître !) de façon à obtenir un réel au dénominateur.
c. Calculez chaque membre séparément pour démontrer l’égalité ou calculez le premier membre en faisant apparaître l’expression du deuxième membre.
Solution
a. z=2+3i1+4i¯−5+2i=2+3i1−4i−5+2i=2−8i+3i−12i2−5+2i =2−8i+3i+12−5+2i=9−3i
À noter
Sans précisions, le résultat doit être donné sous la forme algébrique a+ib avec a ; b∈R2.
b. z′=1+2i− 4+i2+i=− 4+i−8i−22+i=− 6−7i2+i=− 6−7i2−i2+i2−i=−12+6i−14i−722−i2=−19−8i4+1=−19−8i5=− 195−85i
c. α2−5α=1+i22−51+i2=1+2i2−2−5−5i2=− 6−3i2=3−3i2−9=31−i2−9=3α¯−9