Calculs dans ℂ

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z = x + iy$ avec $x$ et $y$ réels et $i^2 = -1$. Cette écriture $x + iy$ s'appelle l'écriture algébrique de $z$. $x$ s'appelle la partie réelle de $z$ ; $y$ s'appelle la partie imaginaire de $z$.
Remarque : la partie imaginaire est $y$ et non $iy$.
Notations : on note $\text{Re}(z)$ et $\text{Im}(z)$ les parties réelle et respectivement imaginaire de $z$.
Cas particuliers : si $\text{Im}(z) = 0$, on dit que $z$ est réel pur ;
si $\text{Re}(z) = 0$, on dit que $z$ est imaginaire pur.

Propriété
Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Cette propriété est très utilisée dans les exercices.
En particulier, $x$ et $y$ étant réels, $x + iy = 0$ équivaut à dire que $x = 0 \text{ et } y = 0$.

Somme et différence :
Si $z_1 = x_1 + iy_1$ et $z_2 = x_2 + iy_2$, alors :
$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$
$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$

Produit :
Si $z_1 = x_1 + iy_1$ et $z_2 = x_2 + iy_2$, alors :
$z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$

Inverse : Si $z_1\neq 0$ alors $\dfrac {1}{z_1}=\dfrac{1}{x_1+iy_1}=\dfrac{1(x_1-iy_1)}{(x_1+iy_1)(x_1-iy_1)}=\dfrac{x_1-iy_1}{x_1^2+y_1^2}$


Division :
Si $z_1 = x_1 + iy_1$ et $z_2 = x_2 + iy_2$ (avec $z_2 \neq 0$), alors : $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(y_1x_2 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$

Définition :
Soit $z = x + iy$ avec $x$ et $y$ réels.
On appelle conjugué du complexe $z$ le complexe $x - iy$, que l'on note $\overline{z}$.

Exemples :
$\overline{4 - 5i} = 4 + 5i \quad ; \quad \overline{3} = 3 \quad ; \quad \overline{2i} = -2i$

Conséquences
$\bullet \overline{\overline{z}} = z$ (on dit que "prendre le conjugué de" est une opération involutive).
$\bullet z \times \overline{z} = x^2 + y^2$
$\bullet z + \overline{z} = 2\; \text{Re}(z)$
$\bullet z - \overline{z} = 2i\; \text{Im}(z)$

On donne $z = 2 + 3i$ et $z' = 4 - 5i$. Calculer $z + z'$, $z \times z'$, l'inverse de $z$ ainsi que $\dfrac{z}{z'}$ et $z \times \overline{z'}$ où $\overline{z'}$ désigne le conjugué de $z$.
Solution de l'exercice : On donne $z = 2 + 3i$ et $z' = 4 - 5i$.
Somme :
$z + z' = (2 + 3i) + (4 - 5i) = (2 + 4) + i(3 - 5) = 6 - 2i$.

Produit :
$z \times z' = (2 + 3i)(4 - 5i) = 2 \times 4 + 2 \times (-5i) + 3i \times 4 + 3i \times (-5i)$.
$z \times z' = 8 - 10i + 12i - 15i^2$.
Rappelons que $i^2 = -1$, donc : $z \times z' = 8 + 2i + 15 = 23 + 2i$.

Inverse de $z$ :
L'inverse de $z = 2 + 3i$ est donné par :
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$, où $\overline{z} = 2 - 3i$ et $|z|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
Ainsi : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{2 - 3i}{13} = \dfrac{2}{13} - i\dfrac{3}{13}$.

Quotient $\dfrac{z}{z'}$ :
Le quotient est donné par :
$\dfrac{z}{z'} = \dfrac{z \times \overline{z'}}{z' \times \overline{z'}}$, où $\overline{z'} = 4 + 5i$ Ainsi : $\dfrac{z}{z'} = \dfrac{-7 + 22i}{41} = -\dfrac{7}{41} + i\dfrac{22}{41}$.
Produit $z \times \overline{z'}$ :
$z \times \overline{z'} = (2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \times 4 + 2 \times 5i + 3i \times 4 + 3i \times 5i$.
$z \times \overline{z'} = 8 + 10i + 12i + 15i^2 = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i$.
Produit avec le conjugué de $z'$ :
$z \times \overline{z'} = (2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i^2$.
$z \times \overline{z'} = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i$.
Résumé des résultats : $z + z' = 6 - 2i$ $z \times z' = 23 + 2i$ $\dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{13} - i\dfrac{3}{13}$ $\dfrac{z}{z'} = -\dfrac{7}{41} + i\dfrac{22}{41}$ $z \times \overline{z'} = -7 + 22i$

Merci à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche