Les propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe permettent de simplifier de nombreux calculs dans ℂ.
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O ; u→, v→.
I. Propriétés du module
Pour tous nombres complexes z et z′ :
z =−z =z¯
zz′ =z z′
1z =1z z≠0
zz′ =z z′ z′≠0
À noter
L’ensemble U=eiθ, θ∈ℝ est donc stable par produit et par inverse, c’est-à-dire que, pour tout z ; z′∈U2, on a zz′∈U et 1z∈U.
z+z′ ≤z +z′ (inégalité triangulaire)
zn=z n
z¯=z 2
Soient AzA, BzB et CzC trois points différents du plan complexe.
AB→ =zB−zA
zC−zAzB−zA
II. Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes z et z′ non nuls,
on a les égalités suivantes à 2π près :
arg−z=π+argz
z¯=−argz
pour tout entier relatif n, argzn=nargz
Soient AzA, BzB et CzC trois points différents du plan complexe.
u→ ; AB→=argzB−zA
AB→ ; AC→=argzC−zAzB−zA
Méthode
Calculer un cosinus et un sinus particuliers
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O ; u→, v→.
a. Écrire chacun des deux nombres complexes b et c sous la forme reiθ où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel.
b. Donner la forme algébrique de chacun des deux nombres a et c.
c. En déduire la valeur exacte de cos7π12 et de sin7π12.
Conseils
a. Déterminez la forme trigonométrique de b.
Utilisez ensuite les propriétés du module et de l’argument pour déterminer la notation exponentielle du produit c = ab.
b. Utilisez les formes algébriques de a et b pour calculer c.
c. Utilisez l’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.
Solution
a. b =22+22=2+2=4=2.
On a c=ab=eiπ3×2eiπ4=2eiπ3+π4=2ei4π12+3π12=2ei7π12.
À noter
Pour θ et θ′ deux nombres réels : eiθ×eiθ′=eiθ+θ′.
b. a=eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+32i.
c. D’après la question a. : c=2ei7π12=2cos7π12+isin7π12.
b. : c=2−62+i2+62.
2cos7π12=2− 62 et 2sin7π12=2+62,