Propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe

Soit $z = a +\text i\,b$ un nombre complexe, où a et b sont réels.

Le module de z, noté $|z|$, est défini par $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z| \geq 0$ et $|z| = 0 \iff z = 0$.

$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$.

Si $z_2\neq 0$, $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$

$|z + w| \leq |z| + |w|$ (inégalité triangulaire).

$|z - w| \geq \big||z| - |w|\big|$ (autre forme de l'inégalité triangulaire).

Pour tout $n\geq 0$ $|z^n| = |z|^n$

Si A et B sont deux points du plan d'affixes respectives a et b (avec a différent de b)

Soient z et z' deux complexes non nuls. On montre que :
$\arg(z.z')=\arg(z)+\arg(z')\;(2\pi)$
$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\;(2\pi)$
si $n\in \textbf N\;\arg(z^n)=n.\arg(z)\;(2\pi)$

Conséquence :
Si A(a), B(b) avec A différent de B et C(c) et D(d) avec C différent de D alors :

Nota : regardez bien la place des lettres dans cette expression afin de la retenir sans erreur.

Déterminer le module puis l'argument de $Z=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}}$ sans déterminer la forme algébrique de $Z$.

En déduire sa forme exponentielle.

Donner la forme trigonométrique de $Z$ puis les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.

On pose $z_1=-\sqrt{2}+i\sqrt{2} \text{ et } z_2=1+i\sqrt{3} \text{ donc } Z=\dfrac{z_1}{z_2}$. $|z_1|=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$

et $z_1=2\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$z_1=2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$

Donc $z_1=2e^{i\dfrac{3\pi}{4}} \text{ donc } \arg(z_1)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$. $|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

et $z_2=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

Donc $\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$.

On déduit que $|Z|=|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{2}{2}=1$ et $\arg(Z)=\arg(z_1)-\arg(z_2)=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{12}$ .

On déduit la forme exponentielle de $Z,Z=e^{i\frac{5\pi}{12}}$.

On déduit que $Z=\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$

Or $Z=\dfrac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}}=\dfrac{(-\sqrt{2}+i\sqrt{2})(1-i\sqrt{3})}{1^2+(-\sqrt{3})^2}$

Par identification, on déduit que $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \text{ et }$$\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.