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Dérivée d'une fonction composée

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Théorème : Soient u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J et v une fonction définie et dérivable sur J.

La fonction vu est dérivable sur I et : (vu)=u×(vu) ce qui signifie que pour tout x de I : (vu)(x)=u(x)×v[u(x)]

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Propriétés : Conséquences :
Soit u une fonction définie et dérivable sur I,

(eu)=ueu

Pour tout entier naturel n non nul, (un)=nuun1

Si u > 0 sur I, (u)=u2u

Exemples :

Si f(x)=ex2, alors f(x)=2xex2

Si g(x)=(2x+5)3, alors g(x)=32(2x+5)2

Tableau récapitulatif : (ne pas oublier les conditions d'existence au préalable)

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Exemple détaillé :

Soit à dériver la fonction f définie sur R+ par f(x)=1x.

Solution :

f est la composée de la fonction racine carrée et de la fonction inverse dont les fonctions dérivées sont connues.

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et il n'y a plus qu'à simplifier l'écriture obtenue : f(x)=12xx.