Composée de deux fonctions

$1.$ Définition d'une composée

Définition :
Soient $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans un intervalle $J$, et $v$ une fonction définie sur l’intervalle $J$. La composée de $u$ par $v$, notée $v \circ u$, est la fonction définie sur $I$ par : $v \circ u(x) = v(u(x))$

$v\circ u$ se lit "$v$ rond $u$ "

Exemple : On prend deux fonctions définies sur $\mathbb R$ par :
$u(x) = x + 3$ : appliquer $u$ c'est ajouter $3$.
$v(x) = 2x - 5$ : appliquer $v$, c'est prendre le double et retrancher 5.
Donc :
$v\circ u(x) = v(u(x)) = v(x + 3) = 2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1$
$v\circ u(1) = v(u(1)) = g(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

Attention : $v\circ u$ est très souvent différent de $u\circ v$.

ici : $u\circ v(x)=u(v(x))=u(2x-5)=2x-5+3=2x-2$.

$2.$ Comprendre les ensembles de définition
Dans une fonction composée, une des "sous-fonctions" peut être définie dans un ensemble différent de $\mathbb{R}$, dans ce cas, cela se répercute sur toute la fonction composée, il faut donc faire très attention...

Exemple :
$f(x) = x² \longrightarrow D_f = \mathbb{R}$
$g(x) = 2x - 1 \longrightarrow D_g = \mathbb{R}$
$h(x) = \dfrac 1x\longrightarrow D_h = \mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}-\left\lbrace0\right\rbrace$

Pour $h\circ f \circ g(x)$ :

Si il y a $0$ lorsqu'on arrive à devoir appliquer la fonction $h$, cela veut dire que ce $0$ a été fabriqué à partir de la fonction $f$ et donc d'une valeur de départ.

Pour la trouver, il suffit de résoudre :

$f(x)=0 \iff x^2=0\iff x=0$

et maintenant quelle est la valeur de $x$ telle que $g(x)=0$ ?

$g(x)=0\iff 2x-1=0 \iff x=\dfrac 12$ donc au départ de la composée, c'est la valeur $\dfrac{1}{2}$ qu'il faut directement exclure pour ne pas tomber sur une valeur interdite

Et l'ensemble de définition de la composée est : $D_{h\circ f\circ g} = \mathbb{R}-\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace$ .