Coordonnées d'un point, d'un vecteur

Dans un plan, un point peut être positionné précisément par la donnée de ses coordonnées. De même, les vecteurs peuvent aussi être décrits par des coordonnées.

I Coordonnées dans un repère

1 Repère orthonormé du plan

Un repère orthonormé du plan est un ensemble de trois points O, I, J tels que le triangle OIJ soit rectangle et isocèle en O. Le point O s’appelle l’origine du repère.

On peut ainsi définir les deux vecteurs, appelés vecteurs de base, $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$tels que $\overrightarrow{\text{OI}}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{\text{OJ}}=\overrightarrow{j}$.

2 Abscisse et ordonnée d’un point, d’un vecteur

Considérons les points M, X (sur l’axe des abscisses) et Y (sur l’axe des ordonnées). Le quadrilatère OXMY est un rectangle.

Comme $\overrightarrow{\text{OX}}$ et $\overrightarrow{i}$ sont colinéaires, il existe un nombre x tel que $\overrightarrow{\text{OX}}=x\overrightarrow{i}$. On peut aussi écrire $\overrightarrow{\text{OY}}=y\overrightarrow{j}$.

On a alors :  $\overrightarrow{\text{OM}}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

x s’appelle l’abscisse du point M, et aussi l’abscisse du vecteur $\overrightarrow{\text{OM}}$.

y s’appelle l’ordonnée du point M, et aussi l’ordonnée du vecteur $\overrightarrow{\text{OM}}.$

x et y s’appellent les coordonnées du point M, et aussi du vecteur $\overrightarrow{\text{OM}}.$

Repère
À noter

Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un point sont uniques, tout comme celles d’un vecteur.

On considère deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB). Alors le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

II Somme de deux vecteurs

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u^{\prime }}$ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) alors :

• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u^{\prime }}$ a pour coordonnées (x + x′ ;y + y′) donc :

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u^{\prime }}=(x+x^{\prime })\overrightarrow{i}+(y+y^{\prime })\overrightarrow{j}$

• $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées (kx ;ky) donc :

$k\overrightarrow{u}=\left(kx\right)\overrightarrow{i}+\left(ky\right)\overrightarrow{j}$

Méthode

1 Lire les coordonnées d’un vecteur graphiquement

Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(2 ; 5) et B(5 ; 1).

Lire graphiquement les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ sans utiliser de formule.

Repère
ConseilS

Partant de A, on se dirige vers B en effectuant un trajet horizontal puis vertical. On peut aussi faire l’inverse : suivre un trajet vertical puis horizontal.

solution

Sur la figure, on voit que $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ avec $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{v}=–4\overrightarrow{j}$.

On en déduit que $\overrightarrow{\text{AB}}=3\overrightarrow{i}–4\overrightarrow{j}$. Les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AB}}$ sont donc (3 ; –4).

2 Déterminer les coordonnées d’un point sous contraintes.

On donne les points A(4 ; 1), B(2 ; –3) et C(–1 ; –2). Trouver les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.

conseilS

Les coordonnées de D sont (x ; y) et se calculent sachant que $\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BD}}$.

solution

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{BA}}$ et $\overrightarrow{\text{BC}}$ sont respectivement $\left(\begin{array}{c}4–2\\ 1–(–3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}–1–2\\ –2–(–3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–3\\ 1\end{array}\right)$. Donc $\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}2+(–3)\\ 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–1\\ 5\end{array}\right)$.

Le vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ ayant pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}x–2\\ y–(–3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x–2\\ y+3\end{array}\right)$, $\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BD}}$ est donc équivalent à x – 2 = –1 et y + 3 = 5. D’où x = 1 et y = 2.