Convexité – Points d’inflexion

Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et $C_f$sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

La fonction $f$ est convexe sur $I$ lorsque $C_f$ située au-dessus de chacune de ses tangentes.

La fonction $C_f$ est concave sur $I$ lorsque $C_f$est située au-dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples : fonction carré $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ , et fonction inverse $g(x)=\dfrac 1x$ sur $\mathbb{R}^*$.

Quels que soient les points $A$ et $B$ de la courbe $C_f$, la corde (ou segment) $[AB]$ est située au-dessus de $C_f$ : la fonction est convexe.

Exemple de la fonction inverse :

Sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$, la corde $[AB]$ est au-dessous de la courbe : la fonction est concave.

Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

La fonction $f$ est convexe sur $I$ lorsque $C_f$ est située au-dessous de toutes ses cordes.

La fonction $f$ est concave sur $I$ lorsque $C_f$est située au-dessus de toutes ses cordes.

Trace à main levée la courbe représentative des fonctions suivantes et précise leur convexité sur les intervalles $I$ précisés :

$f(x)=-x^2$, sur $I=\mathbb{R}$
$g(x)=-\dfrac 1x$ sur $I = \mathbb{R}^-$
$h(x)=\sqrt x$ sur $I=\mathbb{R}^+$

Définition
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et $C_f$​ sa courbe représentative.

S'il existe un point $A$ de $C_f$, tel que $C_f$​ traverse la tangente en ce point, alors $A$ est un point d'inflexion.

Exemple : la fonction cube $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$, admet l'origine du repère pour point d'inflexion.

La représentation graphique de la fonction traverse sa tangente en $O$, d'équation $y=0$.

On remarque que la fonction change de convexité en son point d'inflexion : sur $]-\infty;0]$ $f$ est concave ; sur $[0;+\infty[$ $f$ est convexe.

Soient une fonction $f$ définie et dérivable deux fois sur un intervalle $I$, $C_f$ son graphe, et $a\in \textbf R$.

Si la dérivée $f'$ change de sens de variation en $a$, alors $C_f$ admet un point d'inflexion en $a$, et le point de la courbe a pour coordonnées $(a;f(a))$.

$\bullet\quad$ Si la dérivée seconde $f''$ s'annule en $a$ et change de signe, alors $C_f$ admet un point d'inflexion en $a$.

$\bullet\quad$ En ce point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^ 2+7$
Étudier la convexité de $f$ et préciser les éventuels points d'inflexion.

La fonction $f$ est dérivable, donc continue sur $\mathbb{R}$ .

On peut résumer l'étude de la convexité de $f$ dans le tableau suivant :

Signe de $f''(x)$ : la dérivée seconde s'annule en $2$.

$\bullet\quad$ Variation de $f'(x)$ : la dérivée change de sens de variation en $2$.

$\bullet\quad$ Convexité de $f$ : la fonction $f$ change de convexité, et il existe un point d'inflexion en $(2,f(2))$.

$\bullet\quad$ Vérification graphique : on constate que la courbe de $f$ traverse sa tangente en $2$.

Merci à Carita et Malou pour avoir participé à l'écriture de cette contribution.