Caractérisation de la convexité

La convexité d’une fonction peut aussi s’étudier à partir de sa dérivée seconde. L’étude devient alors plus calculatoire mais permet d’étudier des situations concrètes, notamment en économie.

I. Lien entre convexité et dérivée seconde

1)  Dérivée seconde d’une fonction

Définition : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $f'$ sa dérivée sur I. Si $f'$ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de $f$ sur I, la dérivée de $f'$ sur I. On note cette dérivée seconde $f''$.

2)  Dérivée seconde et convexité

Propriété : $f$ est convexe sur un intervalle I si et seulement si $f''$ est positive sur I.

Remarque : $f$ est donc concave sur un intervalle I si et seulement si $f''$ est négative sur I.

II. Lien entre points d’inflexion et dérivée

Définition : Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative. S’il existe un point A de C, tel que la tangente à la courbe en A traverse C, on dit que A est un point d’inflexion pour C.

Attention : c’est en ce point que la tangente doit traverser la courbe.

Théorème : Soit a un réel de l’ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point I(a ; f(a)) est un point d’inflexion de C si et seulement si f ″ s’annule et change de signe en a.

Conseil

La fonction proposée est deux fois dérivable sur ℝ. Pour ­étudier sa convexité, ­déterminez sa dérivée seconde et étudiez-en le signe.

Conseils

Pour déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle I, il suffit de :

 déterminer f ″(x) ;

 résoudre l’équation $f''(x) = 0$ ;

 étudier le signe de $f''(x)$ et déterminer si $f''$ « change de signe » en chacune des éventuelles solutions de l’équation $f''(x) = 0$.

 

f est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x, on a :

$f'(x)=\dfrac{2(x^2+2)-2x(2x)}{(x^2+2)^2}=\dfrac{-2x^2+4}{(x^2+2)^2}$

$f''(x)=\dfrac{- 4x(x^2+2)^2-(-2x^2+4)(2\times 2x(x^2+2)}{(x^2+2)^4}=\dfrac{4x(x^2-6)}{(x^2+2)^3}$

$f''(x)=0\Longleftrightarrow 4x(x^2-6)=0\Longleftrightarrow x=0\text{ ou }x^2=6$

$f''(x)=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ ou } x=\sqrt 6\text{ ou } x=-\sqrt 6$

La courbe possède au maximum trois points d’inflexion.

$f''(x)$ s’annule et change de signe en -\sqrt 6}, en $0$ et en \sqrt 6}. C admet donc trois points d’inflexion dont les abscisses sont -\sqrt 6}, $0$, \sqrt 6}.