Caractérisation de la convexité

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I. Convexité et dérivée seconde

Théorème
Soit ff une fonction définie et dérivable sur un intervalle II, et f′f' sa dérivée.
∙\bullet\quad est convexe sur II si et seulement si f′f' est croissante sur II.
∙\bullet\quad est concave sur II si et seulement si f′f' est décroissante sur II.

Convexité et dérivée seconde
Rappel : la dérivée seconde d'une fonction ff, notée f′′f'', est la dérivée de sa dérivée : f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = (f'(x))'.
∙\bullet\quad Lorsque f′f' est croissante, la dérivée seconde f′′f'' est positive.
∙\bullet\quad Inversement, lorsque f′f' est décroissante, f′′f'' est négative.
D'où la propriété suivante :

Propriété
Soit ff une fonction définie et dérivable deux fois sur un intervalle II.
∙\bullet\quad est convexe sur II si et seulement si, pour tout réel x∈Ix \in I, f′′(x)≥0f''(x) \geq 0.
∙\bullet\quad est concave sur II si et seulement si, pour tout réel x∈Ix \in I, f′′(x)≤0f''(x) \leq 0.

Exemples :
1- Fonction f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) définie sur I=R∗+I = \mathbb{R}^+_*.
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2- Fonction g(x)=x3g(x) = x^3 définie sur I=R+I = \mathbb{R}^+.

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Dérivée seconde d’une fonction

Définition : Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle I et f′f' sa dérivée sur I. Si f′f' est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de ff sur I, la dérivée de f′f' sur I. On note cette dérivée seconde f′′f''.

Lien entre  dérivée seconde et convexité

Propriété : ff est convexe sur un intervalle I si et seulement si f′′f'' est positive sur I.
Remarque : ff est donc concave sur un intervalle I si et seulement si f′′f'' est négative sur I.

II. Méthode d'étude de convexité d'une fonction

Étapes de l'étude :
1- Définir le domaine de dérivabilité de la fonction ff.
2- Établir la dérivée f′(x)f'(x). Deux cas sont alors possibles :
∙\bullet\quad soit on connaît déjà la variation de f′f' et on en déduit directement la convexité de ff et la présence éventuelle de point(s) d'inflexion.
∙\bullet\quadsoit la variation de f′f' n'est ni évidente, ni déjà étudiée : on étudie la dérivée seconde.
3- Établir la dérivée seconde f′′(x)f''(x) sur son domaine de dérivabilité, en rechercher les racines, et étudier son signe. En déduire la convexité et les éventuels points d'inflexion.
Le tableau suivant résume les différentes propriétés vues précédemment qui nous permettent :
∙\bullet\quadde déterminer la convexité d'une fonction sur un intervalle,
∙\bullet\quad de préciser la présence éventuelle d'un ou de plusieurs points d'inflexion.
Soit ff une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle [a;b]⊂R[a ; b] \subset \mathbb{R}.
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Exemple :

Soient gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=3x5−10x4+23x+50g(x) = 3x^5 - 10x^4 + 23x + 50, et CgC_g son graphe.
Étudier la convexité de gg, et déterminer, le cas échéant, les coordonnées des points d'inflexion.
Vérifier les résultats sur Geogebra.

Solution :
∙\bullet\quad La fonction polynôme gg est 2 fois dérivable sur R\mathbb{R}.
∙\bullet\quad On a : g′(x)=15x4−40x3+23g'(x)=15x^4-40x^3+23. La variation de g′g' n'est pas évidente, on continue l'étude.
∙\bullet\quad Dérivée seconde : g′′(x)=60x3−120x2=60x2(x−2)g''(x) = 60x^3 - 120x^2 = 60x^2(x-2)
∙\bullet\quad Recherche des racines : g′′(x)=0  ⟺  x1=0g''(x) = 0 \iff x_1 = 0 ou x2=2x_2 = 2
∙\bullet\quad Étude du signe : puisque x2≥0x^2 \geq 0, g′′(x)g''(x) est du signe de (x−2)(x-2), fonction affine.
D'où :
g′′(x)≤0g''(x) \leq 0 sur ]−∞;2]]-\infty ; 2] : sur cet intervalle, gg est concave.
g′′(x)≥0g''(x) \geq 0 sur [2;∞[[2 ; \infty[ : sur cet intervalle, gg est convexe.
g′′(x)g''(x) ne change pas de signe en 00 (racine double), il n'y a pas de point d'inflexion au point d'abscisse 00.
A contrario, g′′(x)g''(x) change de signe pour x=2x=2, il y a un point d'inflexion en 22 : le point B(2;32)B(2; 32). CgC_g traverse la tangente au point BB.
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  • Merci à Carita et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.
Leçon précédente
Convexité – Points d’inflexion