Valeur moyenne d'une intégrale

Définition : valeur moyenne d’une fonction

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ On appelle la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a,b]$ le nombre réel $\mu$défini par :

$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ correspond à la hauteur du rectangle de côté $b-a$ dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe représentative de $f$.

En physique, si $f$ est la fonction qui donne la vitesse d’un mobile en fonction du temps, la valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ représente la vitesse moyenne de $f$ sur $[a ; b]$.

Exemple : Soit à calculer la valeur moyenne de $f\mapsto -x^2+5x+2$ sur $[0 ; 3]$.$m=\dfrac{1}{3-0}\begin{aligned}\int_0^3(-x^2+5x+2)\text dx\end{aligned}$$m=\dfrac{1}{3-0}\left[-\dfrac{x^3}{3}+5\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_0^3$$m=\dfrac 13\times 19=6,5$