Une fonction, c'est quoi ?

I. Une fonction : une boîte noire

On donne un nombre $x$ à la boîte noire, et la boîte nous sort un nombre $y$.

Dans la boîte noire, il peut exister un programme de calcul, un tarif PTT en fonction du poids du colis, une expression en fonction du nombre $x$ donné au départ, un tableau de valeurs, ou même un dessin.

Pour un nombre $x$ donné, il n'y a qu'un seul $y$ en sortie de la boîte.

On dit que $y$ est l'image de $x$ par la boîte noire, ou encore que $y$ est l'image de $x$ par une fonction (celle que représente la boîte noire).

$\checkmark$ Le nombre $x$ ne peut pas avoir plusieurs images.

$\checkmark$ Des nombres différents $x$ et $x'$ peuvent avoir la même image.

$\checkmark$ Le nombre $x$ peut ne pas avoir d'image.

On va appeler $f$ la boîte noire, on obtient alors :

et on écrit $y=f(x)$ . $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.

On dit qu'à $x$ on a associé le nombre $y$.

II. Définitions

Une fonction est un objet mathématique qui permet de relier des nombres entre-eux.

Le nombre d'arrivée $y$ s'appelle l'image de $x$ par $f$.

Le ou les nombres $x$qui sont envoyés sur $y$ s'appellent l'antécédent de $y$ ou les antécédents de $y$ par $f$.

III. Quelques exemples concrets

$1.$ Voici un extrait de tarif pour les colis en France.

On entre un poids dans la boîte noire, il en ressort un prix. Le prix est fonction du poids du colis. Ici : $f(\text{poids})=\text{ prix}$

Dont on a fait une représentation graphique :

On retrouve sur le dessin que, par exemple, entre $0$ et $250$ g le tarif est de $5,25$ €. Ce poids n'a qu'une seule image qui est $5,25$.

On retrouve aussi que pour un prix de 10,70 €, ce sont les colis d'un poids entre 1000 et 2000 g. Le nombre $10,70$ a une infinité d'antécédents.

$2.$ La taille d'un bébé (en cm) en fonction de son âge (en mois) est donné par ces courbes. En supposant que le bébé suive la courbe de croissance notée M, on peut en fonction de son âge lire sur le graphique sa taille.

On peut lire que pour 28 mois, la taille du bébé est d'environ 91 cm. On pourra écrire que $f(28)=91$.