Trigonométrie

La trigonométrie étudiée en Seconde examine les relations qui existent entre les côtés d’un triangle, notamment rectangle, et ses angles. Connaissant les angles d’un triangle rectangle, on peut en ­déduire ses côtés et vice-versa.

I Définitions du sinus et du cosinus d’un angle

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $\hat{B}$.

$\sin \hat{\text{B}}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\cos \hat{\text{B}}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

La tangente de l’angle $\hat{\text{B}}$ est le quotient du sinus par le cosinus :

$\tan \hat{\text{B}}=\frac{\sin \hat{\text{B}}}{\cos \hat{\text{B}}}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Dans le triangle ABC rectangle en A : $\sin \hat{\text{B}}=\frac{\text{CA}}{\text{CB}}$, $\cos \hat{B}=\frac{\text{BA}}{\text{BC}}$ et $\tan \hat{B}=\frac{\text{CA}}{\text{BA}}$.

II Propriétés

Repère
À noter

Le complémentaire de $\hat{\text{B}}$ est 90° – $\hat{\text{B}}$.

Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son complémentaire.

Pour tout angle aigu $\hat{\text{B}}$ :

$0<\cos \hat{B}\le 1$ et $\text{0}\le \sin \hat{B}<1$

${\left(\cos \hat{B}\right)}^2+{\left(\sin \hat{B}\right)}^2=1$

En effet ${\left(\cos \hat{B}\right)}^2+{\left(\sin \hat{B}\right)}^2={\left(\frac{\text{BA}}{\text{BC}}\right)}^2+{\left(\frac{\text{CA}}{\text{CB}}\right)}^2=\frac{{\text{BA}}^2}{{\text{BC}}^2}+\frac{{\text{CA}}^2}{{\text{CB}}^2}=\frac{{\text{BA}}^2+{\text{CA}}^2}{{\text{CB}}^2}=1$,

car d’après le théorème de Pythagore BC² + CA² = CB².

Dans un quart de cercle de rayon 1, l’hypoténuse [BC] du triangle rectangle

ABC est égale à 1. Donc et .

On voit que lorsque l’angle $\hat{\text{B}}$ augmente, augmente et diminue.

Méthode

Trouver des valeurs remarquables de sinus, cosinus et tangente

1. On sait que dans un triangle équilatéral de côté 1 la hauteur mesure $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

a. Démontrer que $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin 30°=\frac{1}{2}$.

b. En déduire les valeurs de cos 60°, cos 30°, tan 30° et tan 60°.

2. On sait que dans un carré de côté 1 la diagonale mesure $\sqrt{2}$. En déduire que $\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et calculer la valeur de tan 45°.

Repère
ConseilS

1.
a. Utilisez le triangle AHB sachant que les angles d’un triangle équilatéral mesurent chacun 60°.

b. Utilisez les angles complémentaires.

2. Utilisez le triangle ABD.

solution

1.
a. Dans le triangle rectangle ABH, $\sin 60°=\sin \hat{\text{A}}=\frac{\text{BH}}{\text{AB}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(BH) est la médiatrice de [AC] donc $\text{AH}=\frac{1}{2}$ et $\sin 30°=\sin \left(\widehat{\text{ABH}}\right)=\frac{\text{AH}}{1}=\frac{1}{2}$.

b. Comme les angles de 60° et 30° sont complémentaires :

$\cos 60°=\sin 30°=\frac{1}{2}$ et $\cos 30°=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Puis $\tan 30°\text{=}\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ et

$\tan 60°=\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{1}=\sqrt{3}$.

2. Dans le triangle rectangle ABD, $\sin \widehat{\text{ABD}}=\sin 45°=\frac{\text{AD}}{\text{BD}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45°$

car 45° est son propre complémentaire. On en déduit : $\tan 45°=\frac{\sin 45°}{\cos 45°}=1$.