Triangles

Triangles superposables, triangles semblables, triangles rectangles inscrits dans un cercle, médiatrices sont autant ­d’éléments constitutifs de la géométrie plane.

I Triangles

1 Égalité des triangles : triangles superposables

Deux triangles ABC et A′B′C′ sont superposables si et seulement si :

• leurs côtés ont deux à deux la même longueur ;

• AB = A′B′, AC = A′C′ et (Fig. 1 ; l’angle à considérer est compris entre les deux côtés) ;

• AB = A′B′, et (Fig. 2 ; chaque angle a pour sommet une extrémité du côté).

2 Triangles semblables

Dire que deux triangles sont semblables signifie que leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.

Propriété. Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles ont deux à deux la même ouverture.

Remarque : Si deux triangles sont superposables, alors ils sont semblables. ­Attention, la réciproque est fausse.

II Médiatrices d’un triangle

Théorème. Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle passant par les trois sommets de ce triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

Démonstration : si on appelle O le point d’intersection des médiatrices de [AB] et [AC] on a OA = OB et OA = OC, donc OB = OC. Cela prouve que O appartient aussi à la médiatrice de [BC]. Les trois médiatrices sont bien concourantes en O.

Comme OA = OB = OC, le point O est équidistant des trois sommets du triangle, c’est le centre du cercle circonscrit.

Si le triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle passant par ses trois sommets.

Méthode

Démontrer que deux triangles sont semblables

On considère un triangle équilatéral DEF de côté 1 et dont une hauteur est (FH), le point A tel que $\overrightarrow{\text{FA}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{FD}}$, le point B sur le côté [ED] et le point C sur le côté [FE] de telle sorte que (CA) ⊥ (DF) et (BA) ⊥ (DE).

1. Montrer que $\text{DB}=\frac{1}{3}$.

2.
a. Montrer que les triangles BAD et FAC sont superposables.

b. En déduire que les triangles ABC et FED sont semblables.

3. Montrer que (BC) ⊥ (EF).

4. Comment pourrait-on obtenir la figure ci-contre à partir de la précédente ?

Repère
ConseilS

1. Utilisez le théorème de Thalès dans le triangle FDH.

2.
a. Examinez les angles des triangles BAD et FAC.

b. Déterminez les angles du triangle ABC.

3. Trouvez la mesure de l’angle $\widehat{BCE}$.

solution

1. Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle FDH avec les droites parallèles

(AB) et (FH) montre que $\frac{\text{DB}}{\text{DH}}=\frac{\text{DA}}{\text{DF}}$. Or $\text{DH}=\frac{1}{2}$ et $\text{DA}=\text{DF}–\text{AF}=1–\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

Donc $\frac{\text{DB}}{\text{DH}}=\frac{\text{DA}}{\text{DF}}\iff \frac{\text{DB}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}\iff \text{DB}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.

2.
a. Les triangles rectangles BAD et FAC ont chacun un angle de 60°,

le troisième vaut donc 30°. Comme $\text{BD}=\text{FA}=\frac{1}{3}$, ces triangles sont superposables.

b. $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{DAF}}–\widehat{\text{DAB}}–\widehat{\text{CAF}}=180°–30°–90°=60°$. De plus AB = AC donc le triangle isocèle ABC est équilatéral. Il en résulte que tous ses angles mesurent 60°, donc que les triangles ABC et FED sont semblables.

3. $\widehat{\text{BCE}}=\widehat{\text{ECF}}–\widehat{\text{BCA}}–\widehat{\text{ACF}}–180°–60°–30°–90°$, donc (BC) ⊥ (EF).

4. Il suffit de reproduire la construction précédente sur le triangle ABC.