Triangles - Mathématiques - Cinquième

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I) Les points clés

1) Inégalité triangulaire

Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : Le triangle ABCABC est tel que ABAB = 8 cm, ACAC = 6 cm et BCBC = 11 cm.

AB+ACAB + AC = 14 cm.

Donc BCBC < AB+ACAB + AC.

AB+BCAB + BC = 19 cm.

Donc ACAC < AB+BCAB + BC.

AC+BCAC + BC = 17 cm.

Donc ABAB < AC+BCAC + BC.

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2) Somme des angles d'un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.

Exemple : Dans le triangle ABCABC ci-dessus, on a BAC^+ABC^+ACB^=180°\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°.

Mots-clés 

Points alignés : Tous les points d'une même droite sont alignés.

Points non alignés : Des points qui n'appartiennent pas à une même droite (par exemple les trois sommets d'un triangle) sont non alignés.

II) Un peu de méthode

1) Vérifier qu'un triangle existe

1. J'additionne les deux plus petites longueurs.

2. Je compare le résultat à la plus grande des trois longueurs :

- si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres, alors le triangle ABCABC existe ;

- si la plus grande longueur est supérieure à la somme des deux autres, alors le triangle ABCABC n'existe pas ;

- si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, alors les trois points A, B et C sont alignés.

Exemple : On donne les longueurs ABAB = 6 cm, ACAC = 4 cm et BCBC = 12 cm. AB+ACAB + AC = 10 cm. BC > AB + AC. Donc le triangle ABCABC n'existe pas.

2) Construire un triangle

Pour construire le triangle ABCABC tel que BCBC = 4,5 cm, ABC^=55°\widehat{ABC} = 55° et ACB^=45°\widehat{ACB} = 45° :

1. Je trace, à l'aide de la règle graduée, le côté [BC] de 4,5 cm.

2. Je construis, à l'aide du rapporteur, un angle CBv^\widehat{CBv} de 55°55° dont l'un des côtés est la demi-droite [Bv), puis un angle BCz^\widehat{BCz} de 45°45° dont l'un des côtés est la demi-droite [Cz).

3. Je marque le point A à l'intersection de [Bv) et [Cz).

4. Je trace, à l'aide de la règle, les segments [AB] et [AC].

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Pour démontrer, il faut connaître les propriétés.