Angles et parallélisme

I) Les points clés

1) Vocabulaire

On appelle angles adjacents deux angles ayant le même sommet et un côté commun et étant situés de part et d'autre de ce côté commun.

Exemple : $\widehat{AOt}$ et $\widehat{BOt}$ sont adjacents.

Étant données deux droites sécantes en O, on appelle angles opposés par le sommet deux angles de même sommet O et dont les côtés correspondants sont des demi-droites opposées.

Exemple : $\widehat{AOB}$ et $\widehat{MON}$ sont opposés par le sommet.

Étant données deux droites d et d', et une droite sécante $\Delta$, on appelle :

- angles alternes-internes deux angles non adjacents situés de part et d'autre de la sécante $\Delta$, et entre d et d' ;

- angles correspondants deux angles non adjacents situés du même côté de la sécante $\Delta$, l'un entre d et d' et l'autre non.

Exemples :

$\widehat{sAv}$ et $\widehat{tEu}$ sont alternes-internes.

$\widehat{rAv}$ et $\widehat{tEv}$ sont correspondants.

Mots-clés

Demi-droite : Une demi-droite est une partie d'une droite limitée d'un côté par un point (origine de la demi-droite) et infinie de l'autre côté.

Angles complémentaires : Deux angles dont la somme est égale à $90°$ sont complémentaires.

Angles supplémentaires : Deux angles dont la somme est égale à $180°$ sont supplémentaires.

2) Propriétés

Propriété 1 : Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

Propriété 2 :

• Si deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, alors les angles alternes-internes qu'elles déterminent sont égaux.
• Réciproque : Si deux droites sont coupées par une droite sécante en formant deux angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.

Propriété 3 :

• Si deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, alors les angles correspondants qu'elles déterminent sont égaux.
• Réciproque : Si deux droites sont coupées par une droite sécante en formant deux angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.

II) Un peu de méthode

Démontrer que deux droites sont parallèles

Suivant le cas, j'utilise la réciproque de la propriété 2 ou de la propriété 3.

Exemple : Les deux angles $\widehat{rAu}$ et $\widehat{tEu}$ sont deux angles correspondants égaux déterminés par deux droites (rs) et (tz), coupées par une droite sécante (uv), respectivement en A et E.

Donc les droites (rs) et (tz) sont parallèles.