Suites arithmético-géométriques

Définition : Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $u_{n+1} = a u_n + b$.

Remarques :
$\circ \quad$ i) Si $a = 0$, la suite $(u_n)$ est constante.
$\circ \quad$ ii) Si $a = 1$, la suite $(u_n)$ est arithmétique.
$\circ \quad$ iii) Si $b = 0$, la suite $(u_n)$ est géométrique.

Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite arithmético-géométrique de premier terme $u_p$ avec $p \in \mathbb{N}$ et telle que pour tout entier $n \geq p$, $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$.
Soit $l$ le réel tel que $l = a l + b$. La suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n \geq p$, par $v_n = u_n - l$ est une suite géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_p = u_p - l$.

II. Un exemple rédigé

Énoncé :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 6$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3u_n - 4$. On désire déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Solution :

$1.$ Identification de la suite :
La suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique, c'est-à-dire qu'elle peut être réécrite sous la forme $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a = 3$ et $b = -4$.

$2.$ Hypothèse de convergence :
On suppose que la suite $(u_n)$ est convergente et que sa limite est $l$. Si la suite converge, la limite de la relation de récurrence doit aussi satisfaire la même relation :
$l = 3l - 4$
Résolvons cette équation :
$l - 3l = -4 \quad \Rightarrow \quad -2l = -4 \quad \Rightarrow \quad l = 2$.
Ainsi, la suite converge vers $l = 2$.

$3.$ Création d'une nouvelle suite :
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - 2$. En substituant cette expression dans la relation de récurrence de $u_n$, on obtient une nouvelle relation pour $v_n$ :
$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3(u_n - 2) = 3v_n$.
Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 6 - 2 = 4$.

$4.$ Expression de $v_n$ :
La suite $(v_n)$ étant géométrique, on peut écrire l'expression générale de $v_n$ :
$v_n = 4 \times 3^n$.

$5.$ Retour à $u_n$ :
Comme $v_n = u_n - 2$, on a :
$u_n = v_n + 2 = 4 \times 3^n + 2$.

Ainsi, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est : $u_n = 4 \times 3^n + 2$.