Somme de vecteurs

En additionnant des vecteurs, on peut créer de nouveaux ­vecteurs ou décomposer des vecteurs existants. On peut également soustraire des vecteurs, ce qui revient à additionner l’opposé d’un vecteur.

I Somme vectorielle

Soit A, B, C trois points non alignés. Si on pose $\overrightarrow u=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow v=\overrightarrow{AC}$, on appelle somme vectorielle $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ le vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que $\overrightarrow w=\overrightarrow{AD}$ où ABDC est un parallélogramme.

Repère : À noter

Attention à l’ordre des points définissant le parallélogramme : ABDC.

On peut représenter un vecteur d’une infinité de ­façons. La seule condition à respecter est que ces représentants aient la même direction, le même sens et la même longueur. Pour construire la somme vectorielle de deux vecteurs, on choisit leurs représentants les plus pertinents.

La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ symbolise l’exécution de deux translations l’une à la suite de l’autre : la première de vecteur $\overrightarrow{u}$ et la seconde de vecteur $\overrightarrow{v}$, ou l’inverse. Ainsi, on part de A pour aller vers B puis de B pour finir en D.

II Applications

1 Opposé et soustraction

Si on pose $\overrightarrow u=\overrightarrow{AB}$, on note $-\overrightarrow u$ l’opposé de $\overrightarrow u$. On a ainsi : $-\overrightarrow u=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ (ce qui différencie un vecteur de son opposé est son sens).

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB'}$ sont opposés, alors B et B′ sont symétriques par rapport à A.

On définit la soustraction : $\overrightarrow v-\overrightarrow u=\overrightarrow v +(-\overrightarrow u)$, ou encore : $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

2 Relation de Chasles

La relation de Chasles peut se concevoir comme un raccourci. On part d’un point de départ D pour aboutir à un point d’arrivée A ; la relation permet de prendre des chemins détournés. Ainsi :

Remarque : L’arrivée d’un vecteur de la somme est le départ du vecteur suivant.

Méthode

Construire un vecteur somme dont l’origine est donnée

Placer deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ et un point O.

Construire le point S tel que $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.

Repère : Conseils

On étudie deux cas (suivant que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont ou non la même direction) et on construit E tel que $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}$ et S tel que $\overrightarrow{ES}=\overrightarrow{CD}$.

Solution

1er cas
. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ n’ont pas la même direction.

Donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

On a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ES}=\overrightarrow{OS}$ d’après la relation de Chasles.

Pour construire $\overrightarrow{OS}$, on part de O pour aller en E puis de E on arrive en S.

2d cas. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction.

Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On a aussi : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ES}=\overrightarrow{OS}$ d’après la relation de Chasles.

À noter

Dans les deux cas, OABE et ECDS sont des parallélogrammes.