Somme de deux variables aléatoires

L’espérance de la somme de deux variables aléatoires s’obtient facilement à partir des espérances des deux variables. Pour la variance, le calcul n’est simple que si les deux variables sont indépendantes.

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$, la somme des variables aléatoires $X$ et $Y$ est la variable aléatoire notée $X+Y$ définie par :

Pour tout $\omega \in \Omega$, $(X+Y)(\omega) = X(\omega) + Y(\omega)$

Cette définition s’étend à la somme d’un nombre quelconque $n$ de variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ définies sur le même univers.

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$, alors l’espérance $E(X+Y)$ de leur somme est :

La propriété s’étend à la somme d’un nombre quelconque de variables aléatoires.

Si $X$ est une variable aléatoire et $a$ un nombre réel, alors :

On dit que l’espérance est linéaire.

Remarque : On a aussi $E(X-Y) = E(X) - E(Y)$.

Pour toute variable aléatoire $X$ et tout réel $a$ : $V(aX) = a^2 V(X)$.

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$, définies sur le même univers muni d’une probabilité $P$, sont indépendantes si et seulement si la connaissance de la valeur prise par l’une de ces deux variables n’influe pas sur la probabilité que l’autre variable prenne une valeur donnée. Autrement dit, si pour tous réels $a$ et $b$ :

Deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ sont souvent associées à deux épreuves successives indépendantes, identiques ou non.

Si deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers sont indépendantes, alors leur variance vérifie :

On lance deux dés équilibrés, un dé rouge cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et un dé vert à 4 faces numérotées de 1 à 4. On note $X_1$ le résultat affiché par le dé rouge et $X_2$ le résultat affiché par le dé vert.

On pose $S = X_1 + X_2$.

a. Calculer de deux manières différentes l’espérance de $S$.

b. Calculer la variance de $S$.

a. Utilisez directement la loi de $S$, ou bien les espérances de $X_1$ et $X_2$ et la linéarité de l’espérance.

b. Justifiez le fait que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et utilisez leur variance.

a. Méthode 1 – Calcul direct

Par exemple, à l’aide d’un tableau à double entrée, on peut déterminer la loi de $S$, résumée par le tableau suivant :

$E(X_1) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{7}{2}$ et $E(X_2) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \dfrac{5}{2}$.

$E(S) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \dfrac{7}{2} + \dfrac{5}{2} = 6$.

Les résultats affichés par les deux dés sont indépendants l’un de l’autre, donc les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.

Donc $V(S) = V(X_1 + X_2) = V(X_1) + V(X_2)$.

$V(X_1) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{351}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{204}{12} = \dfrac{17}{1.2}$.

On peut donc calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire sans en déterminer la loi.