Réunion, produit et parties d’ensembles

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Décrire un ensemble d’objets à l’aide de réunions, de produits ou de parties d’ensembles permet de les dénombrer rigoureusement.

I. Réunion de deux ensembles

Définition : La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à Aou à B ; elle est notée A∪B.

À noter

L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A et à B ; elle est notée A∩B.

Principe additif : Soient A et B deux ensembles disjoints (d’intersection vide). Si m et n sont les nombres d’éléments respectifs de A et de B, alors la réunion de A et B comporte m+n éléments.

À noter

Si les deux ensembles ne sont pas disjoints, il faut ôter au résultat le nombre d’éléments r de leur intersection.

II. Produit cartésien

Définitions : Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples (a,b) tels que a∈A et b∈B. Il est noté A×B.

On note Ak l’ensemble A×A×…×A︸k termes, ces éléments sont des k-uplets.

Principe multiplicatif : Si m et n (entiers naturels non nuls) sont les nombres d’éléments respectifs de deux ensembles A et B, alors le produit cartésien A×B comporte m×n éléments.

Soit A un ensemble à n éléments et k un entier naturel non nul. L’ensemble Ak des k-uplets (k-listes) d’éléments de A comporte nk éléments.

III. Parties d’un ensemble

Définition : Un ensemble A est une partie d’un ensemble E si et seulement si tous les éléments de A sont des éléments de E. On écrit alors A⊂E.

On dit également que A est un sous-ensemble de E.

Théorème : Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n.

À noter

C’est également le nombre de n-uplets de l’ensemble 0 ; 1.

Méthodes

1) Déterminer le nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles

Déterminer le nombre d’entiers naturels inférieurs à 199 dont l’écriture décimale comporte le chiffre 0.

Conseils

Regroupez les nombres considérés en plusieurs ensembles facilement dénombrables.

Solution

On considère les ensembles disjoints suivants :

0 ; 10 ; … ; 90, le sous-ensemble de ces entiers inférieurs à 99 ;

100 ; … ; 109, le sous-ensemble de ces entiers compris entre 100 et 109 et C=110 ; … ; 190 le sous-ensemble de ces entiers supérieurs à 109.

A et B ont chacun 10 éléments et C en a 9. Il y a donc en tout 29 entiers naturels inférieurs à 199 dont l’écriture décimale comporte le chiffre 0.

2) Utiliser le produit cartésien

Les cartes d’un jeu sont numérotées de 1 à 3 et coloriées en rouge, vert, bleu, jaune ou noir. Toutes les cartes de ce jeu sont différentes et ce jeu contient toutes les cartes possibles.

Combien y a-t-il de cartes dans ce jeu ?

Conseils

Caractérisez chaque carte par un couple.

Solution

Considérons N=1 ; 2 ; 3 et C=rouge ; vert ; bleu ; jaune ; noir. Alors chaque couple de N×C définit une unique carte du jeu complet.

Il y a donc 3×5 = 15 cartes dans ce jeu.

3) Dénombrer le nombre de parties d’un ensemble

Un caractère Braille est représenté par deux colonnes de trois points chacune, chaque point étant ou non en relief.

Combien peut-on former de caractères différents, sachant qu’au moins un des points doit être en relief ?

Conseils

Considérez un caractère comme une partie d’un ensemble à six éléments.

Solution

Considérons l’ensemble B des six points des deux colonnes, tous ces points étant en relief. Fabriquer un caractère braille, c’est choisir les points qui seront en relief, c’est-à-dire choisir une partie de B différente de la partie vide (un au moins des points est en relief) : il y a donc 26−1 choix possibles, soit 63 caractères brailles.