Décrire un ensemble d’objets à l’aide de réunions, de produits ou de parties d’ensembles permet de les dénombrer rigoureusement.
I. Réunion de deux ensembles
Définition : La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à Aou à B ; elle est notée A∪B.
À noter
L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A et à B ; elle est notée A∩B.
Principe additif : Soient A et B deux ensembles disjoints (d’intersection vide). Si m et n sont les nombres d’éléments respectifs de A et de B, alors la réunion de A et B comporte m+n éléments.
À noter
Si les deux ensembles ne sont pas disjoints, il faut ôter au résultat le nombre d’éléments r de leur intersection.
II. Produit cartésien
Définitions : Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples (a,b) tels que a∈A et b∈B. Il est noté A×B.
On note Ak l’ensemble A×A×…×A︸k termes, ces éléments sont des k-uplets.
Principe multiplicatif : Si m et n (entiers naturels non nuls) sont les nombres d’éléments respectifs de deux ensembles A et B, alors le produit cartésien A×B comporte m×n éléments.
Soit A un ensemble à n éléments et k un entier naturel non nul. L’ensemble Ak des k-uplets (k-listes) d’éléments de A comporte nk éléments.
III. Parties d’un ensemble
Définition : Un ensemble A est une partie d’un ensemble E si et seulement si tous les éléments de A sont des éléments de E. On écrit alors A⊂E.
On dit également que A est un sous-ensemble de E.
Théorème : Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n.
À noter
C’est également le nombre de n-uplets de l’ensemble 0 ; 1.
Méthodes
1) Déterminer le nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles
Déterminer le nombre d’entiers naturels inférieurs à 199 dont l’écriture décimale comporte le chiffre 0.
Conseils
Regroupez les nombres considérés en plusieurs ensembles facilement dénombrables.
Solution
On considère les ensembles disjoints suivants :
0 ; 10 ; … ; 90, le sous-ensemble de ces entiers inférieurs à 99 ;
100 ; … ; 109, le sous-ensemble de ces entiers compris entre 100 et 109 et C=110 ; … ; 190 le sous-ensemble de ces entiers supérieurs à 109.
A et B ont chacun 10 éléments et C en a 9. Il y a donc en tout 29 entiers naturels inférieurs à 199 dont l’écriture décimale comporte le chiffre 0.
2) Utiliser le produit cartésien
Les cartes d’un jeu sont numérotées de 1 à 3 et coloriées en rouge, vert, bleu, jaune ou noir. Toutes les cartes de ce jeu sont différentes et ce jeu contient toutes les cartes possibles.
Combien y a-t-il de cartes dans ce jeu ?
Conseils
Caractérisez chaque carte par un couple.
Solution
Considérons N=1 ; 2 ; 3 et C=rouge ; vert ; bleu ; jaune ; noir. Alors chaque couple de N×C définit une unique carte du jeu complet.
Il y a donc 3×5 = 15 cartes dans ce jeu.
3) Dénombrer le nombre de parties d’un ensemble
Un caractère Braille est représenté par deux colonnes de trois points chacune, chaque point étant ou non en relief.
Combien peut-on former de caractères différents, sachant qu’au moins un des points doit être en relief ?
Conseils
Considérez un caractère comme une partie d’un ensemble à six éléments.
Solution
Considérons l’ensemble B des six points des deux colonnes, tous ces points étant en relief. Fabriquer un caractère braille, c’est choisir les points qui seront en relief, c’est-à-dire choisir une partie de B différente de la partie vide (un au moins des points est en relief) : il y a donc 26−1 choix possibles, soit 63 caractères brailles.