Rappels et compléments sur la fonction exponentielle

La fonction exponentielle étudiée en Première sert à définir la fonction logarithme népérien, et permet l’étude de fonctions plus ­complexes, grâce à la composition.

I. Définitions et notations

Définition : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ, de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0. On la note exp.

Notations : Le nombre exp(1) se note e, et pour tout x ∈ ℝ, on note $\text{exp}(x) = \text e^x$.

Définition : Pour toute fonction u définie sur un intervalle I, on définit la fonction $\text e ^u$ par : pour tout $x\in I\;,\;(\text e^u)(x)=\text e ^{u(x)}$

II. Propriétés analytiques

La fonction exp est dérivable sur ℝ, et pour tout x ∈ ℝ : $\text{exp}'(x)=\text{exp}(x)$.

La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.

$\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^x=+\infty$

Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, la fonction e^u est dérivable sur I, et on a :

$(\text e^u)'=u'\times \text e^u$

III. Propriétés algébriques

Pour tous réels a et b, et pour tout entier n, on a :

 $\text e^a \times \text e^b = \text e^{a+ b}$   • $(\text e^a)^n=\text e^{(na)}$   •  $\text e^{-a}=\dfrac{1}{\text e^a}$   •  $\dfrac{\text e^a}{\text e^b}=\text e^{a-b}$

IV. Équations et inéquations

Pour tous réels a et b, on a :

 $\text e^a =\text e^b\Longleftrightarrow a=b$   •  $\text e^a$ < $\text e^b\Longleftrightarrow a$ < $b$

Méthode

Étudier une fonction contenant une exponentielle

Étudier la fonction $f$ définie sur ℝ par :

$f(x)=\text e^{-x^2}$

Conseils

Étape 1 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 2 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 1

f est de la forme $\text e^u$ avec $u(x)=\text e^{-x^2}$, pour tout réel x.

Elle est donc définie et dérivable sur ℝ. De plus $(\text e^u)'=u'\text e^u$, avec u′(x)=−2x.

Donc pour tout réel x, $f'(x)=-2x\times \text e^{-x^2}$.

Étape 2

La fonction exponentielle est strictement positive, donc $-2x\times \text e^{-x^2}$ est du signe de $-2x$, d’où $f'(x)$ > $0$  pour tout x ∈ ]-∞ ; 0[, et $f'(x)$ < $0$ pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[.

Donc $f$ est strictement croissante sur ]− ∞ ; 0[, et strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[.

Étape 3

On sait que :

$\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x=0$, donc $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$, par composition.

Étape 4