Racine carrée

On sait calculer l’aire d’un carré de côté a : c’est a². La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d’aire a, quel est son côté ? C’est a.

I Définition et propriétés

Étant donné un nombre $a$ positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à $a$. Ce nombre est la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$.

Exemples : pour les carrés parfaits, on a $0 = 0$, $1 = 1$, $4 = 2$, $9 = 3$, $16 = 4$, etc.

Pour tout $a \geq 0$, $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ : c’est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.

Si $0 \lt a \lt b$, alors $0 \lt \sqrt{a} \lt \sqrt{b}$.

Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$.

En effet, $x^2 = (-x)^2$, donc $\sqrt{x^2} = x$ si $x \geq 0$ et $\sqrt{x^2} = -x$ si $x \leq 0$.

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

Repère
À noter

Le symbole s’appelle un radical.

II Opérations sur les racines carrées

Soit deux nombres positifs a et b.

La racine carrée d’un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.

Repère
À noter

Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $\sqrt{a + b} \lt \sqrt{a} + \sqrt{b}$: voir la méthode pour la démonstration.

La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.

Si $b \neq 0$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Remarques :
• Si $b \gt 0$ alors $\sqrt{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{1}{\sqrt{b}}$. En effet, $\sqrt{\dfrac{1}{b}} = \sqrt{\dfrac{1}{b} \times b} \times \dfrac{1}{\sqrt{b}} = \dfrac{1}{\sqrt{b}}$.

• Pour tous réels $a$ et $b$ positifs :
$\sqrt{\dfrac{a^2}{b}} = \dfrac{a}{\sqrt{b}}$, car $\sqrt{\dfrac{a^2}{b}} = \sqrt{a^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{b}} = \dfrac{a}{\sqrt{b}}$.

Méthode1 Visualiser la formule $\sqrt{\dfrac{a^2}{b}} = \dfrac{a}{\sqrt{b}}$.
a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l’aire du grand carré représenté ci-contre ?
b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d’aire 7 cm² ?
c. En déduire que $\sqrt{63}=3\sqrt 7$ .Repère
Conseils

a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.
b. Utilisez la définition du cours.
c. Exprimez l’aire du grand carré de deux façons.solution
a
. L’aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.
b. Le côté de chaque petit carré mesure $\sqrt 7$ cm par définition.
c. En centimètres, le côté du grand carré mesure $\sqrt{63}$. Sa mesure en centimètres est aussi égale à $\sqrt 7+\sqrt7+\sqrt7=3\sqrt7$. Donc $\sqrt{63}=3\sqrt7$.2 Démontrer que $\sqrt{a + b} \lt \sqrt{a} + \sqrt{b}$ lorsque a> 0 et b> 0conseils
a. Utiliser l’identité remarquable (x + y)² =… et ne pas oublier que $ab$ est un nombre positif.
b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l’inégalité et du membre à gauche.
a. Démontrer que $\sqrt{a+b}^2=a+2ab+b$ et en déduire que $\sqrt{a+b}^2 \gt a+b$.
b. En déduire l’inégalité demandée.

solution
a. $\sqrt{a + b}^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b$,
car comme $a \gt 0$ et $b \gt 0$, $(\sqrt{a})^2 = a$ et $(\sqrt{b})^2 = b$.
Comme $2\sqrt{a}\sqrt{b} \gt 0$, $a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \gt a + b$, donc $\sqrt{a + b}^2 \gt a + b$.b. $\sqrt{a + b}^2 \gt a + b \implies \sqrt{a + b} \gt \sqrt{a} + \sqrt{b} \implies a + b \gt \sqrt{a} + \sqrt{b}$.En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés.
De plus, $\sqrt{x^2} = x$ si $x \geq 0$, avec ici $x = a + b$.