On sait calculer l’aire d’un carré de côté a : c’est a2. La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d’aire a, quel est son côté ? C’est a.
I Définition et propriétés
Étant donné un nombre a positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est la racine carrée de a notée a.
Exemples : pour les carrés parfaits, on a 0=0, 1=1, 4=2, 9=3, 16=4, etc.
Pour tout a⩾ 0, (a)2=a : c’est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.
Si 0 < a< b alors 0<a<b.
Pour tout réel x, x2= |x|.
En effet x2=(–x)2 donc x2=x si x⩾ 0 et x2=(–x)2=–x six⩽ 0.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Repère
À noter
Le symbole s’appelle un radical.
II Opérations sur les racines carrées
Soit deux nombres positifs a et b.
La racine carrée d’un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.
Repère
À noter
Si a et b sont strictement positifs alors a+b<a+b : voir la méthode pour la démonstration.
a×b=a×b
La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.
Si b≠0, ab=ab
Remarques : • Si b> 0 alors 1b=1b. En effet 1b=1b=1b.
• Pour tous réels a et b positifs : a2b=ab car a2b=a2b.
Méthode
1 Visualiser la formule a2b=ab
a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l’aire du grand carré représenté ci-contre ?
b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d’aire 7 cm² ?Repère
c. En déduire que 63=37.
Conseils
a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.
b. Utilisez la définition du cours.solution
c. Exprimez l’aire du grand carré de deux façons.
a
. L’aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.
b. Le côté de chaque petit carré mesure 7 cm par définition.
c. En centimètres, le côté du grand carré mesure 63. Sa mesure en centimètres est aussi égale à 7+7+7=37. Donc 63=37.2 Démontrer que a+b<a+b lorsquea> 0 etb> 0
conseils
a. Utiliser l’identité remarquable (x + y)2 =… et ne pas oublier que ab est un nombre positif.
b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l’inégalité et du membre à gauche.
a. Démontrer que (a+b)2=a+2ab+b et en déduire que (a+b)2>a+b.solution
b. En déduire l’inégalité demandée.
a. (a+b)2=(a)2+2ab+(b)2=a+2ab+b, car comme a> 0 et b> 0, (a)2=a et (b)2=b. Comme ab>0, a+2ab+b>a+b donc (a+b)2>a+b.
b. (a+b)2>a+b⇒(a+b)2>a+b⇒a+b>a+b.En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés. De plus, x2=x si x⩾ 0, avec ici x=a+b.