Inéquations

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, il faut bien maîtriser la résolution des équations du premier degré à une inconnue.

I Introduction

Repère
À noter

Les règles énoncées ici sont aussi valides pour les inéquations de la forme ax ⩽ b et ax ⩾ b.

Soit x l’inconnue. On s’intéresse ici à la résolution des inéquations qui peuvent se ramener à une écriture simple, c’est-à-dire à la forme ax < b ou ax > b.

Exemple : L’inéquation 8x – 2 < 3(x + 7) peut se ­ramener, comme on va le voir, à 5x < 23. On a ainsi a = 5 et b = 23.

II Les deux grandes étapes de résolution

1 Le développement

La première étape consiste à développer, c’est-à-dire à supprimer toutes les parenthèses.

Exemple : 8x – 2 < 3(x + 7) ⇔ 8x – 2 < 3x + 21

2 Le principe d’équilibre

Lorsque l’on ajoute (ou soustrait) le même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation qui lui est équivalente.

Exemple : On poursuit la résolution de l’inéquation de l’exemple précédent. On a :

8x – 2 < 3x + 21 ⇔ 8x – 2 + 2 < 3x + 21 + 2 (on ajoute 2 aux deux membres de l’inéquation). Après calculs : 8x – 2 < 3x + 21 ⇔ 8x < 3x + 23.

En outre : 8x < 3x + 23 ⇔ 5x < 23 (on soustrait 3x aux deux membres de l’inéquation), donc : 8x – 2 < 3(x + 7) ⇔ 5x < 23

Lorsque l’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement positif, on obtient une inéquation équivalente et de même sens.

Lorsque l’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement négatif, on obtient une inéquation équivalente et de sens contraire.

Exemples :

• 5x < 23 ⇔ (on divise les deux membres par 5 > 0).

• –2x > 1 ⇔ (on divise les deux membres par –2 < 0).

Méthode

1 Résoudre une inéquation et représenter ses solutions

Résoudre l’inéquation 5x – 3 < 7x + 1, puis représenter l’ensemble des ­solutions sur un axe.

Repère
Conseils

La technique est identique à celle employée pour les équations sauf lorsqu’on multiplie ou divise les membres de l’inéquation par un nombre négatif !

solution

5x – 3 < 7x + 1

⇔ 5x – 3 + 3 < 7x + 1 + 3 On ajoute 3 aux deux membres de l’inéquation.

⇔ 5x – 7x < 7x + 4 – 7x On soustrait 7x aux deux membres de l’inéquation.

⇔ –2x < 4

⇔ On divise par un nombre strictement négatif : –2. L’inéquation change de sens.

⇔ x > –2

L’ensemble des solutions est donc l’intervalle ]–2, +∞[(en rouge sur l’axe).

2 Résoudre une inéquation comportant des fractions

Résoudre l’inéquation $\frac{2}{7}x\ge \frac{25}{14}+x$.

conseils

Chassez d’abord les dénominateurs pour se ramener à des inéquations à coefficients entiers.

solution

$\frac{2}{7}x\ge \frac{25}{14}+x$

⇔

On multiplie par 14 pour chasser les ­dénominateurs.

⇔ 4x – 14x ⩾ 24 + 14x – 14x ⇔ –10x ⩾ 24

⇔ $x⩽\frac{25}{\mathrm{–10}}$

On divise par un nombre strictement négatif : –10. ­L’inéquation change de sens.

⇔ x ⩽ –2,4 L’ensemble des solutions est ]–∞ ; –2,4].