Puissance et inverse d’une matrice – Matrices colonnes

Comme pour les réels, on peut définir les puissances et les inverses de matrices carrées. De même, les suites de matrices colonnes s’apparentent aux suites de nombres réels.

Définition :
Soient $n \in \mathbb{N}^\ast$, $p \in \mathbb{N}^\ast$, $p \geq 2$, $A$ une matrice carrée d’ordre $n$.
On note $A^p$ le produit de $p$ matrices égales à $A$, on pose $A^1 = A$ et $A^0 = I_n$.

Propriétés :

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées, $m$ et $p$ deux entiers naturels non nuls :
$A^m A^p = A^{m+p}$ et $(A^m)^p = A^{mp}$.

Si $D$ est une matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_i$, alors $D^p$ est la matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_i^p$.

À noter

En général $(AB)^n \neq A^nB^n$ et $(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$.

Définition :
Soit $n \in \mathbb{N}^\ast$, une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $BA = AB = I_n$.

La matrice $B$ est unique : c’est la matrice inverse de $A$, on la note $A^{-1}$.

On admet qu’il suffit que $AB = I_n$ ou que $BA = I_n$ pour que $A$ soit inversible et que $A^{-1} = B$.

Propriétés :
Soit $n \in \mathbb{N}^\ast$ et soient $A$ et $B$ deux matrices carrées inversibles d’ordre $n$ :

$\circ\quad$ $A^{-1}$ est inversible et $\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$.

$\circ\quad$ La matrice $AB$ est inversible et $\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

Soit $m \in \mathbb{N}^\ast$, soit $A$ une matrice carrée d’ordre $m$ et soit $C$ une matrice colonne de taille $m$. On peut alors définir la suite $U_n$ de matrices colonnes de taille $m$ par son premier terme une matrice colonne $U_0$ de taille $m$ et la relation de récurrence :
pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = A U_n + C$.

Propriété :
Si $C$ est nulle, alors on a pour tout entier naturel $n$ :
$U_n = A^n U_0$.

Remarque :
Pour une suite de matrices ligne $L_n$ de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$L_{n+1} = L_n A$, on a pour tout entier naturel $n$ : $L_n = L_0 A^n$.

Soit $B = \begin{pmatrix} 1 \quad 1 \\ 0 \quad 2 \end{pmatrix}$ .

Objectif : Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$,
$B^n = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^n - 1 \\ 0 \quad 2^n {\phantom{-1}}\end{pmatrix}$ .

Étape 1 : Initialisation
Pour $n = 1$, calculons $B^1$ :
$B^1 = B = \begin{pmatrix} 1 \quad 1 \\ 0 \quad 2 \end{pmatrix}$ .
On constate que la formule $B^n = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^n - 1 \\ 0 \quad 2^n {\phantom{-1}}\end{pmatrix}$ est vraie pour $n = 1$ puisque $2^1 - 1 = 1$ et $2^1 = 2$.

Étape 2 : Hérédité
Supposons que la propriété est vraie pour un entier $k \geq 1$, c'est-à-dire que
$B^k = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^k - 1 \\ 0 \quad 2^k {\phantom{-1}}\end{pmatrix}$ .
Montrons qu'elle est également vraie pour $k + 1$. Calculons $B^{k+1} = B^k \cdot B$ :
$B^k = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^k - 1 \\ 0 \quad 2^k {\phantom{-1}}\end{pmatrix}$,
$B = \begin{pmatrix} 1 \quad 1 \\ 0 \quad 2 \end{pmatrix}$

Effectuons le produit matriciel :
$B^{k+1} = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^k - 1 \\ 0 \quad 2^k{\phantom{-1}} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \quad 1 \\ 0 \quad 2 \end{pmatrix}$.

Calculons chaque terme :
Première ligne, première colonne : $1 \cdot 1 + (2^k - 1) \cdot 0 = 1$.
Première ligne, deuxième colonne : $1 \cdot 1 + (2^k - 1) \cdot 2 = 1 + 2(2^k - 1) = 2^{k+1} - 1$.
Deuxième ligne, première colonne : $0 \cdot 1 + 2^k \cdot 0 = 0$.
Deuxième ligne, deuxième colonne : $0 \cdot 1 + 2^k \cdot 2 = 2^{k+1}$.Ainsi, $B^{k+1} = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^{k+1} - 1 \\ 0 \quad 2^{k+1}{\phantom{-1}} \end{pmatrix}$ .La propriété est donc vraie pour $k + 1$.

Étape 3 : Conclusion
Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $B^n = \begin{pmatrix} 1 \quad 2^n - 1 \\ 0 \quad 2^n {\phantom{-1}}\end{pmatrix}$. 2) Calculer l’inverse d’une matrice carrée
Soit $A = \begin{pmatrix} {\phantom{-}}2 \quad 1 \\ -1 \quad 1 \end{pmatrix}$ et la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 \quad -1 \\ 1 \quad {\phantom{-}}2 \end{pmatrix}$ .

Conseils
On cherche une matrice carrée $C$ telle que $A \times C = \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{pmatrix}$ .

Solution
Calculons :
$A \times B = \begin{pmatrix} {\phantom{-}}2 \quad 1 \\ -1 \quad 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \quad -1 \\ 1 \quad {\phantom{-}}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \quad 0 \\ 0 \quad 3 \end{pmatrix}$.

Pour obtenir l’inverse, divisons par $3$ :
$\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \quad 0 \\ 0 \quad 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{pmatrix}$

Ainsi,
$C = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \quad -1 \\ 1 \quad {\phantom{-}}3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \quad -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \quad {\phantom{-}}1 \end{pmatrix}$ .