Comme pour les réels, on peut définir les puissances et les inverses de matrices carrées. De même, les suites de matrices colonnes s’apparentent aux suites de nombres réels.
I. Puissance entière d’une matrice carrée
Définition : Soient n∈ℕ∗, p∈ℕ∗, p≥2, A une matrice carrée d’ordre n. On note Ap le produit de p matrices égales à A, on pose A1=A et A0=In.
Propriétés
Soit A et B deux matrices carrées, m et p deux entiers naturels non nuls.
AmAp=Am+p et Amp=Amp
Si D est une matrice diagonale de coefficients diagonaux di alors Dp est la matrice diagonale de coefficients diagonaux dip.
À noter
En général ABn≠AnBn et A+B2≠A2+2AB+B2.
II. Matrices carrées inversibles
Définition : Soit n∈ℕ∗, une matrice carrée A d’ordre n est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que BA=AB=In.
La matrice B est unique : c’est la matrice inverse de A, on la note A−1.
On admet qu’il suffit que AB=In ou que BA=In pour que A soit inversible et que A−1=B.
Propriétés : Soit n∈ℕ∗ et soient A et B deux matrices carrées inversibles d’ordre n.
A−1 est inversible et A−1−1=A.
La matrice AB est inversible et AB−1=B−1A−1.
III. Matrices colonnes définies par récurrence
Soit m∈ℕ∗, soit A une matrice carrée d’ordre m et soit C une matrice colonne de taille m. On peut alors définir la suite Un de matrices colonnes de taille m par son premier terme une matrice colonne U0 de taille m et la relation de récurrence : pour tout entier naturel n, Un+1=AUn+C.
Propriété : Si C est nulle, alors on a pour tout entier naturel n : Un=AnU0.
Remarque : Pour une suite de matrice ligne Ln de taille m définie pour tout entier naturel n par Ln+1=LnA, on a pour tout entier naturel n : Ln=L0An.
À noter
Cette propriété se démontre par récurrence.
Méthodes
1) Calculer une puissance d’une matrice carrée
1102.
Montrer par récurrence que pour tout n∈ℕ∗, Bn=12n−102n.
Conseils
Pour démontrer l’hérédité, on peut écrire Bn+1=Bn×B puis utiliser l’hypothèse de récurrence.
Solution
Initialisation : Pour n=1, 12n−102n=12−102=B , la proposition est donc vraie au rang 1.
Hérédité : Supposons que pour un entier n∈ℕ∗, Bn=12n−102n.
Bn+1=12n−102n×1102=11+2n×2−202n×2
12n+1−102n+1.
Conclusion : Pour tout n∈ℕ∗, Bn=12n−102n.
2) Calculer l’inverse d’une matrice carrée
21−11 et la matrice B=1−112.
Conseils
On cherche une matrice carrée C telle que A×C=1001.
Solution
21−111−112=3003.
1001.
13−131323.