Calcul d'intégrales, propriétés, valeur moyenne et intégration par parties

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I. Calcul d'intégrales

On admet le résultat suivant :
Proposition :
Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b, ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b] et FF une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [a,b][a,b]. On a alors : ∫abf(x)dx=F(b)−F(a) \boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}

Remarque : La différence F(b)−F(a)F(b)-F(a) est souvent notée [F(x)]ab\left[F(x)\right]_a^b , on écrit donc : ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a) \boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}

Théorème : si ff est une fonction continue positive sur [a,b][a,b], alors la fonction FaF_a définie sur [a,b][a,b] par ∫axf(t) dt\begin{aligned}\int_a^x f(t)\text{ d}t\end{aligned} est la primitive de ff qui s’annule en aa.


Exemple 1
Calcul de A=∫−114x3+3x2−2x+6 dx A=\displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{ d}x
A=[4x44+3x33−2x22+6x]−11A= \left[\dfrac{4x^4}{4}+\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+6x\right]_{-1}^1
A=[x4+x3−x2+6x]−11A=\left[x^4+x^3-x^2+6x\right]_{-1}^1
A=[14+13−12+6×1]−[(−1)4+(−1)3−(−1)2+6×(−1)]A= \left[1^4+1^3-1^2+6\times 1\right]-\left[(-1)^4+(-1)^3-(-1)^2+6\times(-1)\right]
A=14A=14.

Exemple 2
Calcul de ∫131x3+2x5 dx \displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x
∫131x3+2x5 dx=∫13x−3+2x−5 dx \displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x = \int_{1}^3 x^{-3}+2x^{-5}\text{ d}x
∫131x3+2x5 dx=[1−2x−2+2×1−4x−4]13{\phantom{\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x} =\left[\dfrac{1}{-2}x^{-2}+2\times\dfrac{1}{-4}x^{-4}\right]_{1}^3}
∫131x3+2x5 dx=[−12x2−12x4]13{\phantom{\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x} = \left[-\dfrac{1}{2x^{2}}-\dfrac{1}{2x^{4}}\right]_{1}^3 }
∫131x3+2x5 dx=[−12×32−12×34]−[−12×12−12×14]{\phantom{\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x}=\left[-\dfrac{1}{2\times 3^{2}}-\dfrac{1}{2\times 3^{4}}\right]-\left[-\dfrac{1}{2\times 1^{2}}-\dfrac{1}{2\times 1^{4}}\right]}
∫131x3+2x5 dx=1−118−1162=7681{\phantom{\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x}= 1-\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{162} = \dfrac{76}{81}}

Exemple 3
Calcul de ∫14u2u du \displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u
∫14u2u du=∫14(u)22uu du\displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u = \int_{1}^4 \dfrac{(\sqrt{u})^2}{2u\sqrt{u}}\text{ d}u
∫14u2u du=∫14u2uu du{\phantom{\displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u}= \displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{u}{2u\sqrt{u}}\text{ d}u}
∫14u2u du=∫1412u du {\phantom{\displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u}= \displaystyle\int_{1}^4 \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\text{ d}u}
∫14u2u du=[u]14=4−1=1{\phantom{\displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u}= \left[\sqrt{u}\right]_1^4=\sqrt 4-\sqrt 1=1}

Exemple 4
Calcul de ∫122(t+1)(t2+2t)3 dt \displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=∫122t+2(t2+2t)3 dt \displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t = \int_{1}^2 \dfrac{2t+2}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=∫12(2t+2)(t2+2t)−3 dt{\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \displaystyle\int_{1}^2 (2t+2)(t^2+2t)^{-3}\text{ d}t}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=∫12u′(t)u−3(t) dt (en posant u(t)=t2+2t ){\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}=\displaystyle \int_{1}^2 u^{'}(t)u^{-3}(t)\text{ d}t \text{ (en posant } u(t)=t^2+2t\text{ )}}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=[1−3+1u−3+1(t)]12{\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \left[\dfrac{1}{-3+1}u^{-3+1}(t)\right]_{1}^{2}}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=[−12u2(t)]12{\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \left[-\dfrac{1}{2u^{2}(t)}\right]_{1}^{2}}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=[−12(t2+2t)2]12{\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \left[-\dfrac{1}{2(t^2+2t)^2}\right]_{1}^{2}}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=(−12(22+2×2)2)−(−12(12+2×1)2){\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \left(-\dfrac{1}{2(2^2+2\times 2)^2}\right)-\left(-\dfrac{1}{2(1^2+2\times 1)^2}\right)}
∫122(t+1)(t2+2t)3 dt=551152{\phantom{\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t}= \dfrac{55}{1152}}

II. Propriétés de l'intégrale

1.1. Linéarité
Propriété :
Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b, f et gf \text{ et } g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b][a,b] et kk un réel quelconque. On a : ∫ab(f+g)(x) dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx \displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x) \text{ d}x=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx \displaystyle\int_{a}^{b} kf(x) \text{ d}x=k\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x

Exemple : Calculer A=∫12x2+1x dxA=\begin{aligned}\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x\end{aligned}
∫12x2+1x dx=∫12x2x+1x dx \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}\text{ d}x
∫12x2+1x dx=∫12x+1x dx{\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x}=\displaystyle\int_{1}^{2} x+\dfrac{1}{x}\text{ d}x}
∫12x2+1x dx=∫12x dx+∫121x dx (par lineˊariteˊ de l’inteˊgrale) {\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x}=\displaystyle\int_{1}^2 x\text{ d}x + \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x}\text{ d}x \text{ (par linéarité de l’intégrale) }}
∫12x2+1x dx=[x22]12+[ln⁡∣x∣]12{\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x}= \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2 + \left[\ln|x|\right]_1^2}
∫12x2+1x dx=42−12+ln⁡(2)−ln⁡(1){\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x}= \dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}+\ln(2)-\ln(1)}
∫12x2+1x dx=32+ln⁡(2){\phantom{\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x}=\dfrac{3}{2}+\ln(2)}
2.2. Relation de Chasles
Propriété :
Soient a et ca \text{ et } c deux réels tels que a<ca\lt c, ff une fonction continue sur l’intervalle [a,c][a,c] et bb un réel de [a,c][a,c]. On a : ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx \begin{aligned}\int_{a}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned} = \begin{aligned}\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\end{aligned} +\begin{aligned}\int_{b}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned}

Exemple : Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par: {f(x)=x si x<1f(x)=1x si x≥1 \left\lbrace\begin{matrix} f(x)=x \text{ si }x\lt 1 \\ f(x)=\dfrac{1}{x} \text{ si } x\geq 1 \end{matrix}\right.
Montrer que ff est continue sur l’intervalle [−2,4][-2,4] puis calculer ∫−24f(x) dx \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x
La continuité : les fonctions x↦x et x↦1xx\mapsto x \text{ et }x\mapsto \dfrac{1}{x} sont continues respectivement sur [−2,1[[-2,1[ et [1,4][1,4] Donc ff est continue sur ces deux intervalles.
Le problème ne se pose alors qu’au point x=1x=1 On a : f(1)=11=1f(1)=\dfrac{1}{1}=1 lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+1x=1\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1}{x}=1 lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−x=1\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}x=1 On en déduit: lim⁡x→1f(x)=1=f(1)\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1=f(1)
Il s’ensuit que ff est continue au point 11 et donc :  f est continue sur [−2,4] \boxed{\text{ f est continue sur } [-2,4]} L’intégrale ∫−24f(x) dx \displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x a donc un sens.

Calcul de l’intégrale ∫−24f(x) dx\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x ∫−24f(x) dx=∫−21f(x) dx+∫14f(x) dx ( relation de Chasles)\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x= \int_{-2}^{1} f(x) \text{ d}x + \int_{1}^{4} f(x) \text{ d}x \text{ }\bigl(\text{ relation de Chasles}\bigr)∫−24f(x) dx=∫−21x dx+∫141x dx{\phantom{\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x}=\displaystyle\int_{-2}^{1} x \text{ d}x + \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x} \text{ d}x }∫−24f(x) dx=[x22]−21+[ln⁡∣x∣]14{\phantom{\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x}= \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^1 + \left[\ln|x|\right]_1^4}∫−24f(x) dx=12−42+ln⁡∣4∣−ln⁡∣1∣{\phantom{\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x}= \dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2}+\ln|4|-\ln|1|}∫−24f(x) dx=−32+2ln⁡(2){\phantom{\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x}= -\dfrac{3}{2}+2\ln(2)}

3.3. Parité
Propriété : Soit aa un réel positif et soit ff une fonction continue sur [−a,a][-a,a]∘\circ Si ff est paire, alors : ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=2\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \text{ d}x∘\circ Si ff est impaire, alors : ∫−aaf(x) dx=0\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=0

Exemple : Calcul de ∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x La fonction x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x) est impaire et continue sur [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] La fonction x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x) est paire et continue sur [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] ∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=∫−π2π2sin⁡(x) dx+∫−π2π2cos⁡(x) dx\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x =\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) \text{ d}x∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=0+2∫0π2cos⁡(x) dx{\phantom{\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x}=0+2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) \text{ d}x}∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=2[sin⁡(x)]0π2{\phantom{\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x}= 2\left[\sin(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=2(sin⁡(π2)−sin⁡(0)){\phantom{\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x}=2\bigl(\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0)\bigr)}
∫−π2π2sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=2{\phantom{\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x}=2}

4.4. Positivité
Propriété : Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b], alors :∘\circ Si ff est positive sur l’intervalle [a,b][a,b], alors : ∫abf(x) dx≥0\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\geq 0∘\circ Si ff est négative sur l’intervalle [a,b][a,b], alors : ∫abf(x) dx≤0\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq 0

Remarque : La réciproque est fausse en général.Contre-exemple : On a : ∫−122x dx=[x2]−12=3≥0 \displaystyle\int_{-1}^{2} 2x \text{ d}x=\left[x^2\right]_{-1}^2=3\geq 0 Mais la fonction x↦2xx\mapsto 2x n’est pas positive sur [−1,2][-1,2] puisqu’elle est négative sur [−1,0][-1,0].

55.Ordre
Propriété : Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et f et gf \text{ et } g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b][a,b] telles que, pour tout x de [a,b] : f(x)≤g(x)x \text{ de } [a,b]\text{ : }f(x)\leq g(x).Alors : ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x
Remarque : La réciproque est fausse en général. Exemple : On a, pour tout xx appartenant à [1,7] : ex≥x[1,7]\text{ : } e^x\geq x Donc : ∫17x dx≤∫17ex dx\displaystyle \int_{1}^{7} x \text{ d}x\leq \displaystyle \int_{1}^{7} e^x \text{ d}x

III-Valeur moyenne et inégalité de la moyenne



Définition : valeur moyenne d’une fonction
Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b] On appelle la valeur moyenne de la fonction ff sur [a,b][a,b] le nombre réel suivant: 1b−a∫abf(x) dx \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x

La valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] correspond à la hauteur du rectangle de côté b−ab-a dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe représentative de ff.


Exemple : Soit à calculer la valeur moyenne de f↦−x2+5x+2f\mapsto -x^2+5x+2 sur [0;3][0 ; 3].m=13−0∫03(−x2+5x+2)dxm=\dfrac{1}{3-0}\begin{aligned}\int_0^3(-x^2+5x+2)\text dx\end{aligned}m=13−0[−x33+5x22+2x]03m=\dfrac{1}{3-0}\left[-\dfrac{x^3}{3}+5\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_0^3m=13×19=6,5m=\dfrac 13\times 19=6,5picture-in-text

Propriété : Inégalité de la moyenne
Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b] telle qu’il existe m et M de Rm \text{ et } M \text{ de } \mathbb{R} vérifiant m≤f(x)≤M pour tout x de [a,b] m\leq f(x)\leq M \text{ pour tout } x \text{ de } [a,b] Alors : m≤1b−a∫abf(x) dx≤Mm\leq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq M

IV- Intégration par parties

Théorème : Intégration par parties Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur [a,b][a,b] respectivement de dérivées u′u' et v′v' continues sur [a,b][a,b].Alors : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx \boxed{\displaystyle \int_a^b u(x)v^{'}(x)\text{ d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u^{'}(x)v(x)\text{ d}x}

Exemples : Calcul de ∫0πxsin⁡x dx \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x On pose : {u(x)=xv′(x)=sin⁡x donc : {u′(x)=1v(x)=−cos⁡x \left\lbrace\begin{matrix} u(x)=x \\ v{'}(x)=\sin x \end{matrix}\right. \text{ donc : }\left\lbrace\begin{matrix} u{'}(x)=1 \\ v(x)=-\cos x \end{matrix}\right.u,v,u′,v′u,v,u',v' sont toutes quatre continues sur [0;π][0; \pi].
∫0πxsin⁡x dx=[−xcos⁡x]0π−∫0π−cos⁡x dx\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x =\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} -\cos x \text{ d}x
∫0πxsin⁡x dx=π+∫0πcos⁡x dx{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} =\pi +\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos x \text{ d}x}
∫0πxsin⁡x dx=π+[sin⁡x]0π{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} = \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi}}
∫0πxsin⁡x dx=π+sin⁡π−sin⁡0{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} = \pi + \sin \pi - \sin 0}
∫0πxsin⁡x dx=π{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} =\pi}

Calcul de ∫ee2ln⁡x dx \displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x
On pose : {u(x)=ln⁡xv′(x)=1 donc : {u′(x)=1xv(x)=x \left\lbrace\begin{matrix} u(x)=\ln x \\ v{'}(x)=1 \end{matrix} \right.\text{ donc : }\left\lbrace\begin{matrix} u{'}(x)=\dfrac{1}{x} \\ v(x)=x \end{matrix}\right. u,v,u′,v′u,v,u',v' sont toutes quatre continues sur [e,e2][\text{e}, \text{e}^2].
∫ee2ln⁡x dx=[xln⁡x]ee2−∫ee21x×x dx\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x =\left[x \ln x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2} -\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x} \times x\text{ d}x
∫ee2ln⁡x dx=e2ln⁡e2−eln⁡e−[x]ee2{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=\text{e}^2\ln \text{e}^2-\text{e}\ln \text{e}-\left[x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2}}
∫ee2ln⁡x dx=2e2−e−e2+e{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=2\text{e}^2-e -\text{e}^2+\text{e}}
∫ee2ln⁡x dx=e2{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=\text{e}^2}


Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
\begin{array}{cl} \\ \displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{  d}x  &= \left[\dfrac{4x^4}{4}+\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+6x\right]_{-1}^1 \\  \\                &=\left[x^4+x^3-x^2+6x\right]_{-1}^1 \\  \\                &= \left[1^4+1^3-1^2+6\times 1\right]-\left[(-1)^4+(-1)^3-(-1)^2+6\times(-1)\right]\\  \\               &= 14  \\              \end{array}
Leçon précédente
Définition de l’intégrale