Propriétés de l’intégrale

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L’intégrale possède des propriétés qui facilitent son calcul ou son encadrement, ce qui permet d’en obtenir une valeur approchée.

I. Propriétés relatives aux bornes

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b de I, on a :

 ∫aaf(t)  dt=0\begin{aligned} \int_a^a f(t)\;\text dt \end{aligned}=0

 ∫baf(t)  dt=−∫abf(t)  dt\begin{aligned} \int_b^a f(t)\;\text dt \end{aligned}=-\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}

À noter

La variable t est muette. On note indifféremment ∫abf(t)  dt\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned} , ∫abf(x)  dx\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;\text dx \end{aligned}, etc.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

∫acf(t)  dt=∫abf(t)  dt+∫bcf(t)  dt\begin{aligned} \int_a^c f(t)\;\text dt \end{aligned}=\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}+\begin{aligned} \int_b^c f(t)\;\text dt \end{aligned}

 

II. Linéarité de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

∫ab(f(t)+g(t))  dt=∫abf(t)  dt+∫abg(t)  dt\begin{aligned} \int_a^b (f(t)+g(t))\;\text dt \end{aligned}=\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}+\begin{aligned} \int_a^b g(t)\;\text dt \end{aligned}

∫abλf(t)  dt=λ∫abf(t)  dt\begin{aligned} \int_a^b {\lambda f(t)}\;\text dt \end{aligned}=\lambda \begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}

 

III. Positivité et croissance de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle [a ; b], a≤ba\le b.

Si f(t)≥0f(t)\ge 0 pour tout t∈[a ; b], alors ∫abf(t)  dt≥0\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned} \ge 0

Si f(t)≥g(t)f(t)\ge g(t) pour tout t∈[a ; b], alors ∫abf(t)  dt≥∫abg(t)  dt\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned} \ge \begin{aligned} \int_a^b g(t)\;\text dt \end{aligned}

IV. Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur un intervalle [a ; b],a≤b. Alors :

∫abu′(t)v(t)  dt=[u(t)v(t)]ab−∫abu(t)v′(t)  dt\begin{aligned} \int_a^b {u'(t)v(t)}\;\text dt \end{aligned}=[u(t)v(t)]_a^b -\begin{aligned} \int_a^b {u(t)v'(t)}\;\text dt \end{aligned}

 

Méthodes

Majorer ou minorer une intégrale

∫02t31+t2  dt\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{t^3}{1+t^2}\;\text dt \end{aligned}

On pose A=∫02t31+t2  dtA=\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{t^3}{1+t^2}\;\text dt \end{aligned}. Montrer que 0≤A≤40\le A\le 4.

Conseils

Étape 1 Encadrez la fonction t↦t31+t2t\mapsto \dfrac{t^3}{1+t^2} sur l’intervalle d’intégration [0 ; 2] par des fonctions dont on sait déterminer une primitive.

Étape 2 Utilisez la positivité et la croissance de l’intégrale.

Solution

Étape 1 Pour tout t∈[0 ; 2],1+t2≥11+t^2\ge 1 donc 0≥11+t2≥10\ge \dfrac{1}{1+t^2}\ge 1. t étant positif, on en déduit que pour tout t∈[0 ; 2], 0≤t31+t2≤t30\le \dfrac{t^3}{1+t^2}\le t^3.

Étape 2 Par positivité et croissance de l’intégrale, on en déduit que 0≤∫02t31+t2  dt≤∫02t3  dt0\le \begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{t^3}{1+t^2}\;\text dt \end{aligned} \le \begin{aligned} \int_0^2 {t^3}\;\text dt \end{aligned}

∫02t3  dt=[t44]02=4\begin{aligned} \int_0^2 {t^3}\;\text dt \end{aligned}=\left[\dfrac{t^4}{4}\right]_0^2=4

 

2 Appliquer le théorème d’intégration par parties

Calculer  ∫01tet  dt\begin{aligned} \int_0^1 {t\text e^t}\;\text dt \end{aligned} à l’aide d’une intégration par parties.

Conseils

Identifiez les fonctions u′ et v du théorème, de telle sorte que l’intégrale ∫01u(t)v′(t)  dt\begin{aligned} \int_0^1 {u(t)v'(t)}\;\text dt \end{aligned} soit facile à calculer.

Solution

Pour tout t∈[0 ; 1], on pose u′(t)=etu'(t)=\text e^t et v(t)=tv(t)=t, on a alors u(t)=etu(t)=\text e^t et v′(t)=1v'(t)=1.

Les fonctions u et v ainsi définies sont dérivables sur [0 ; 1] à dérivées continues. Le théorème d’intégration par parties donne donc :

∫01tet  dt=[tet]01−∫01et  dt=e−(e−1)\begin{aligned} \int_0^1 {t\text e^t}\;\text dt \end{aligned}=\left[t\text e^t\right]_0^1-\begin{aligned} \int_0^1 {\text e^t}\;\text dt \end{aligned}=\text e-(\text e-1) et ∫01tet  dt=1\begin{aligned} \int_0^1 {t\text e^t}\;\text dt \end{aligned}=1.

 

Leçon précédente
Définition de l’intégrale