Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme permet de compléter la liste des fonctions vues dans le secondaire. Tu as ainsi à ta disposition tout un panel de fonctions dont tu dois connaître les propriétés. La fonction logarithme est très intéressante quand l'inconnue de notre problème se trouve être un exposant. Elle est également très utile en physique-chimie pour définir des échelles (pH, échelle de Richter, échelle sonore,)

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la bijection réciproque de la fonction exp :

Pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ et tout $y$ de $\mathbb{R}$, $\ln x = y \Longleftrightarrow e^y = x$.

La fonction $\ln$ a pour ensemble de définition $]0 ; +\infty[$ ; elle vérifie :
Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.
Pour tout réel $x$, $\ln (e^x) = x$.
Pour tout réel $x$ strictement positif, $e^{\ln x} = x$.
$\ln$ s'annule en 1 : $\ln 1 = 0$.

On sait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son ensemble de définition, on en déduit que :
$\ln(x) \le 0$ sur $]0 ; 1]$
$\ln(x) \gt 0$ sur $]1 ; +\infty[$

pour tous $x$ et $y$ de $]0 ; +\infty[$ : $x \lt y \Longleftrightarrow \ln x \lt \ln y$

et : $x = y \Longleftrightarrow \ln x = \ln y$

Pour tous $x$ et $y$ de $]0 ; +\infty[$ et tout entier $n$ :

Exprimez, en fonction de $\ln2, \ln 3,\ln 5$ l'expression suivante en utilisant les propriétés algébriques du logarithme népérien :

Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $0,8^n\le 0,25$.

Solution exercice 1:

Nous allons simplifier l'expression en utilisant les propriétés algébriques du logarithme népérien (ln).

Décomposition en facteurs premiers :$50 = 2 \times 5^2$ ; $2^3 = 8$ ; $\sqrt{16} = 2^2$ ; $81 = 3^4$ ; $12 = 2^2 \times 3$ ; $\sqrt{25} = 5$ ; $27^{\frac{1}{3}} = 3$

Remplacement dans l'expression : $A= \ln\left(\frac{(2 \times 5^2) \times 2^3 \times 2^2}{e^2 \times 3^4}\right) - 2 \ln\left(\frac{2^2 \times 3}{5}\right) + \ln(3)$

Étape 2 : Simplification des puissances

Simplification des puissances de 2 : $2 \times 2^3 \times 2^2 = 2^{1+3+2} = 2^6$

Expression simplifiée : $A=\ln\left(\frac{2^6 \times 5^2}{e^2 \times 3^4}\right) - 2 \ln\left(\frac{2^2 \times 3}{5}\right) + \ln(3)$

Développement des logarithmes : $A=\ln(2^6) + \ln(5^2) - \ln(e^2) - \ln(3^4) - 2 (\ln(2^2) + \ln 3 - \ln 5) + \ln 3$

Simplification des puissances : $A=6 \ln 2 + 2 \ln 5 - 2 \ln e - 4 \ln 3 - 4 \ln 2 + 2 \ln 5 + \ln 3$

Regroupement par termes :$\ln 2$ : $6 \ln 2 - 4 \ln 2 = 2 \ln 2$$\ln 5$ : $2 \ln 5 + 2 \ln 5 = 4 \ln 5$$\ln 3$ : $-4 \ln 3 - 2 \ln 3 + \ln 3 = -5 \ln 3$

Constantes : $-2 \ln e = -2$ (puisque $\ln e = 1$)

Expression finale simplifiée : $A=2 \ln 2 + 4 \ln 5 - 5 \ln 3 - 2$

Conclusion : L'expression simplifiée en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$, et $\ln 5$ est :$A=2 \ln 2 + 4 \ln 5 - 5 \ln 3 - 2$

Solution exercice 2 :

Comme $\ln⁡(0,8)$est négatif on inverse le sens de l'inéquation. Ainsi :

Étape 4 : on utilise la calculatrice

Conclusion : La plus petite valeur de $n$ est donc $7$.