Propagation des ondes : acoustique

Cette fiche est la suite du cours sur les ondes donné en classe de seconde et de première.

Elle aborde les notions de base de l'acoustique : intensité sonore, niveau sonore et atténuation.

I. Définitions

1. Acoustique

L'acoustique est le domaine de la physique traitant des ondes sonores et de leur propagation.

2. Propagation en champ libre

• Une onde sonore se propage en champ libre si elle ne rencontre aucun obstacle de nature à modifier ses effets.

• C'est le cas du son d'un haut-parleur s'il se propage dans l'air dans toutes les directions.

• En revanche, dans une maison, le son ne se propage pas en champ libre du fait des murs ou du sol.

II. Intensité sonore

• Une onde sonore est une onde mécanique : elle est due à une perturbation de la pression de l'air, provoquée par une source et se propageant de proche en proche.

• Comme toute onde mécanique, elle transporte une certaine énergie, ce qui permet de la caractériser par une intensité sonore :

  $\circ\quad$ L'intensité sonore est la puissance surfacique (= par unité de surface) transportée par une onde sonore :

  $\boxed{I = \dfrac{P}{S}}$

  avec :

  $\circ\quad$ $I$ : intensité sonore (en $W/m^2$) ;

  $\circ\quad$ $P$ : puissance transportée par l'onde sonore (en $W$) ;

  $\circ\quad$ $S$ : surface sur laquelle se répartit le son (en $m^2$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ Lorsqu'il y a plusieurs sources les intensités sonores s'ajoutent : dix violonistes produisent une intensité sonore dix fois plus élevée qu'un seul.

  $\circ\quad$ La puissance acoustique $P$ est tout simplement la puissance délivrée par la source (un haut-parleur par exemple).

III. Niveau sonore

• La notion d'intensité sonore a certains inconvénients :

  $\circ\quad$ La perception du volume sonore n'est pas proportionnelle à l'intensité ;

  $\circ\quad$ L'intensité sonore a une valeur qui peut s'étaler sur plus de $10$ ordres de grandeur !

• Les physiciens définissent donc une autre quantité plus pratique et significative, appelée le niveau (d'intensité) sonore :

  $\circ\quad$ Une onde sonore d'intensité $I$ a pour niveau (d'intensité) sonore la quantité $L$ définie par :

  $\boxed{ L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) }$

  avec :

  $\circ\quad$ $L$ : niveau sonore (en décibel, noté $dB$) ;

  $\circ\quad$ $I$ : intensité sonore de l'onde (en $W/m^2$) ;

  $\circ\quad$ $I_0$ : intensité sonore de référence ($I_0 = 10^{-12} W/m^2$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ $I_0$ est une constante qui correspond au seuil d'audibilité de l'oreille humaine, c'est-à-dire l'intensité sonore minimale qu'un être humain perçoit.

  $\circ\quad$ Les performances de l'oreille humaine dépendent de l'âge mais aussi de la fréquence des sons : c'est ainsi que les basses sont moins bien perçues que les aigus.

• Règle utile :

  $\circ\quad$ À chaque fois qu'on double l'intensité sonore, le niveau sonore augmente de $3$ dB.

  $\circ\quad$ À chaque fois qu'on divise l'intensité par $2$, le niveau sonore diminue de $3$ dB.

• Démonstration :

  $\circ\quad$$\log( x \times y ) = \log (x) + \log(y) \;\;$

  $\circ\quad$ et $\;\;\log( \frac{x}{y} ) = \log(x)- \log (y) \;$

  $\circ\quad$ Considérons un son d'intensité $I$. Son niveau sonore vaut : $\boxed{ L = 10 \; \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) }$

  $\circ\quad$ Soit un son d'intensité double $I' = 2I$ : son niveau sonore s'écrit alors :

  $L' = 10 \; \log(\dfrac{2I}{I_0}) = 10( \log(\dfrac{I}{I_0}) + \log(2)) = 10 \; \log(\frac{I}{I_0}) + 10 \;\log(2) = L + 3 dB$

  On trouve bien le résultat : $\boxed{L' = L + 3 \; dB }$

  $\circ\quad$ Soit un son d'intensité deux fois plus faible $I' = \dfrac{I}{2}$. Son niveau sonore s'écrit alors :

  $L' = 10 \; \log(\dfrac{I}{2I_0}) = 10( \log(\frac{I}{I_0}) - \log(2)) = 10 \; \log(\frac{I}{I_0}) - 10 \;\log(2) = L - 3 dB$

  On trouve bien le résultat : $\boxed{L' = L - 3 \; dB}$.

IV. Échelle des bruits

• L'échelle des bruits est un graphique qui situe les différents niveaux de bruits et permet de distinguer les valeurs d'intensité et de niveau sonore :

• Remarques :

  $\circ\quad$ On remarque que les valeurs du niveau sonore (entre $0$ et $130~dB$ pour les bruits usuels) sont effectivement plus faciles à manipuler.

  $\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION !}}$ Lorsqu'un son double d'intensité, son niveau sonore ne double pas mais augmente de $3~dB$ (voir plus haut) !

V. Volume sonore

$\circ\quad$ Le volume sonore perçu par les être humains est une notion subjective : il dépend du sujet mais aussi de la fréquence des sons.

$\circ\quad$ L'intensité ou le niveau sonore définis par les physiciens ne permettent donc pas de caractériser simplement

ce phénomène complexe qu'est la perception des sons.

$\circ\quad$ Ainsi, l'homme entend très bien les fréquences sonores comprises entre $400$ et $4~000~ Hz$, mais beaucoup plus difficilement les sons très graves ($f \lt 100~Hz$) :

pour un même niveau sonore ($60~dB$ par exemple) un son très grave paraîtra très faible par rapport à un son "moyen" ($f \approx 1~kHz$).

$\circ\quad$ D'autre part, un doublement de l'intensité sonore $I$ (au sens physique) ne correspond pas au doublement du volume sonore perçu :

pour avoir l'impression qu'un son est deux fois plus fort il faut multiplier l'intensité sonore par $10$ (c'est-à-dire augmenter le niveau sonore de $10~dB$).

VI. Atténuation des ondes sonores

1. Atténuation due à la distance (atténuation géométrique)

• L'expérience montre que le son faiblit avec la distance : ceci est une conséquence de la conservation de l'énergie.

• Dans l'hypothèse d'une source ponctuelle et d'une propagation du son dans toutes les directions dans un milieu non absorbant, la puissance sonore $P$ émise se répartit sur la surface $S$ d'une sphère centrée sur la source et dont le rayon $r$ augmente au cours du temps. L'intensité sonore vaut donc :

  $I = \dfrac{P}{S}$ avec $S = 4 \pi r^2$

• La puissance $P$ étant constante (en l'absence d'autre source à l'intérieur de la sphère), on en déduit que :

  $\boxed{ I = \dfrac{P}{4 \pi~r^2} = \dfrac{k}{r^2} }$ avec $\text{k = constante}$

  $\circ\quad$ On parle alors de dilution sphérique du son.

  $\circ\quad$ Ce résultat est général : pour une source ponctuelle avec propagation en milieu non absorbant (ou peu absorbant),

  $\boxed{\text{L'intensité sonore est inversement proportionnelle au carré de la distance.}}$

  $\circ\quad$ Remarque : la constante k dépend de la puissance émise et de la géométrie du problème (propagation sphérique, hémisphérique ou autre)

2. Atténuation due au milieu

• Lorsqu'une onde sonore se propage dans un milieu absorbant, l'intensité sonore (ou encore le niveau sonore) diminue entre l'entrée de l'onde dans le milieu et sa sortie, car le milieu de propagation absorbe une partie de l'énergie de l'onde.

• Atténuation d'une onde sonore dans un milieu :

  Considérons une onde sonore atténuée lors de sa propagation dans un milieu. On définit alors l'atténuation $A$ de l'onde par la relation suivante :

  $\boxed{ A = L_\mathrm{sortie} - L_\mathrm{entrée} = 10 \; \log\left(\dfrac{I_\mathrm{sortie}}{I_\mathrm{entrée}}\right) }$

  avec :

  $\circ\quad$ $L_\mathrm{entrée}$ : niveau sonore en entrée dans le milieu (en $dB$) ;

  $\circ\quad$ $L_\mathrm{sortie}$ : niveau sonore en sortie du milieu (en $dB$) ;

  $\circ\quad$ $I_\mathrm{entrée}$ : intensité sonore en entrée (en $W/m^2$) ;

  $\circ\quad$ $I_\mathrm{sortie}$ : intensité sonore en sortie (en $W/m^2$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ L'air est un milieu absorbant, et l'absorption dépend de la fréquence, les aigus étant beaucoup plus atténués que les graves ;

  $\circ\quad$ Il faut évidemment ajouter l'atténuation due au milieu à l'atténuation géométrique.

• Exemple : atténuation du son à travers une cloison

  $\circ\quad$Un haut-parleur émet un signal dont le niveau sonore est de $75~dB$ d'un côté d'une cloison.

  $\circ\quad$De l'autre côté, on ne mesure plus qu'un niveau sonore de $51~dB$.

  $\circ\quad$L'atténuation est donc égale à $A = 51 - 75 = -24~dB$ à travers la cloison (si les mesures sont faites près de la cloison).

7. Application

1. Énoncé

Un groupe de $6$ musiciens joue dans un kiosque en plein air. On supposera la propagation du son sphérique et on négligera l'atténuation due à l'air.

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ Démontrer que si l'intensité sonore d'un signal est multipliée par $10$, alors le niveau sonore augmente de $10~dB$.

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ A une distance $d$ du kiosque le niveau sonore $L$ est jugé faible.

A quelle distance $d'$ doit-on s'approcher pour que la musique soit $2$ fois plus forte (c'est-à-dire que le niveau sonore augmente de $10~dB$).

On exprimera $d'$ en fonction de $d$.

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Combien de musiciens faudrait-il en plus pour que la musique soit $2$ fois plus forte à la distance $d$ ?

2. Solution

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ Soit un signal d'intensité sonore $I$ et de niveau sonore $L = 10 \log (\dfrac{I}{I_0} )$

Soit un signal d'intensité $I' = 10 \times I$ : son niveau sonore $L'$ vaut alors :

$L' = 10 \log (\dfrac{I'}{I_0} )$

$\Leftrightarrow L' = 10 \log (\dfrac{10 I}{I_0})$

$\Leftrightarrow L' = 10[ \log (\dfrac{ I}{I_0} ) + \log (10) ]$

$\Leftrightarrow L' = 10[ \log (\dfrac{ I}{I_0}) + 1 ]$

$\Leftrightarrow L' = 10 \log (\dfrac{ I}{I_0}) + 10$

$\Leftrightarrow L' = L + 10$

On trouve donc le résultat attendu : $\boxed{L' = L + 10~dB}$

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ la propagation du son étant sphérique, on en déduit que $I = \dfrac{P}{S}$ avec $S = 4 \pi~r^2$

Donc $\boxed{I = \dfrac{ P}{4\pi r^2} }$

avec :

$\circ\quad$ $P$ : puissance acoustique de la source ;

$\circ\quad$ $I$ : intensité sonore à la distance $r$ de la source.

A la distance $d$ l'intensité sonore vaut: $\boxed{I = \dfrac{ P}{4\pi d^2} }$.

A la distance $d'$ l'intensité sonore vaut : $\boxed{I' = \dfrac{ P}{4\pi d'^2} }$

et si la musique est $2$ fois plus forte alors le niveau sonore $L' = L + 10~dB$ ou encore, d'après la question $\textcolor{purple}{\text{1}}$, $\boxed{I' = 10 I}$.

On en déduit que :

$I' = \dfrac{P}{4 \pi d'^2} = \dfrac{ 10 P}{4\pi d^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{d'^2} = \dfrac{ 10 }{d^2}$

$\Leftrightarrow d'^2 = \dfrac{d^2}{10}$

On trouve finalement : $\boxed{d' = \frac{d}{\sqrt{10}} \approx \frac{d}{3}}$.

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Si la musique doit être $2$ fois plus forte à la distance $d$, il faut multiplier l'intensité sonore par $10$ (d'après ce qu'on a vu à la question $\textcolor{purple}{\text{2}}$) et donc tout simplement multiplier le nombre de musiciens par $10$ (car les intensités sonores de plusieurs sources s'ajoutent). Il faudrait donc $60$ musiciens ou encore en ajouter $54$ !

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}