Propagation des ondes : effet Doppler-Fizeau

Cette fiche est la suite du cours sur les ondes donné en classe de seconde et de première.

Elle aborde le sujet suivant : l'effet Doppler-Fizeau.

I. Introduction

• L'expérience de tous les jours montre que la sirène d'une ambulance paraît plus aiguë lorsqu'elle se rapproche que lorsqu'elle s'éloigne. Il en va de même quand une formule 1 passe en trombe devant les gradins : les spectateurs perçoivent un son dont la fréquence varie avec la distance qui les sépare du bolide.

• Ce phénomène est appelé effet Doppler, appelé aussi effet Doppler-Fizeau, en l'honneur des 2 savants qui ont étudié ce phénomène au XIX^e siècle.

• L'effet Doppler concerne tous les signaux périodiques, notamment les ondes mécaniques et électromagnétiques.

II. Interprétation physique

1. Effet Doppler-Fizeau

• Définition : lorsque l'émetteur d'un signal périodique et le récepteur du signal se rapprochent ou s'éloignent (l'un de l'autre), il se produit un décalage de fréquence entre l'émetteur et le récepteur :

  $\circ\quad$ Si la source se rapproche, la fréquence reçue est supérieure à la fréquence émise ;

  $\circ\quad$ Si la source s'éloigne, la fréquence reçue est inférieure à la fréquence émise.

• L'effet Doppler est donc un effet physique et pas uniquement une sensation : l'émetteur et le récepteur mesurent une fréquence différente.

• L'effet Doppler est un effet purement cinématique, c'est-à-dire ne dépendant que des lois du mouvement. Il s'applique à tout signal périodique, même aussi simple qu'un bip (voire une balle !) envoyé à une certaine cadence (toutes les 2 secondes par exemple).

III. Cas de l'émetteur mobile et du récepteur fixe

• Dans un référentiel galiléen, considérons un émetteur $E$ en mouvement par rapport à un observateur $R$ immobile (le récepteur).

• Pour simplifier, supposons que l'émetteur se déplace uniformément sur l'axe le reliant au récepteur, c'est-à-dire la droite $(ER)$, comme indiqué sur la figure.

• Montrons que la fréquence $f_R$ du signal reçu par $R$ est différente de la fréquence $f_E$ du signal émis par $E$.

• Notations :

  $\circ\quad$ $T_E$ : période du signal émis par $E$ ;

  $\circ\quad$$T_R$ : période du signal reçu par $R$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}$ : vitesse de l'émetteur (par rapport à $R$) ;

  $\circ\quad$ $c$ : vitesse du signal (par rapport à $R$).

1. Premier cas : l'émetteur $E$ se rapproche du récepteur $R$

$\circ\quad$A $t = 0$, $E$ émet un signal en direction de $R$.

$\circ\quad$A $t = T_E$ :

$\blacktriangleright$ L'émetteur a avancé d'une distance $v \times T_E$ et émet (en E) un 2^e signal (par définition de la période $T_E$)

$\blacktriangleright$et le 1er signal (en violet) s'est propagé d'une distance $c \times T_E$.

$\circ\quad$La distance entre les deux signaux vaut donc :

$\lambda = c \times T_E - v \times T_E = (c -v) \times T_E$

(dans le cas d'une onde, $\lambda$ est tout simplement la longueur d'onde)

$\circ\quad$On en déduit la durée séparant l'arrivée en $R$ de signaux consécutifs (ou encore de 2 crêtes consécutives dans le cas d'une onde) :

$\Delta t = \dfrac{\lambda}{c}$

$\circ\quad$Cette durée étant par définition la période $T_R$, on obtient :

$T_R = \dfrac{\lambda}{c} = \dfrac{(c-v)}{c} \; T_E = ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; T_E$

et comme $f_E =\dfrac{1}{T_E}$ et $f_R = \dfrac{1}{T_R}$

On trouve la formule de l'effet Doppler (en cas de rapprochement) : $\boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} } \; }$.

2. Deuxième cas : l'émetteur E s'éloigne du récepteur R

Par un raisonnement analogue, on démontre la formule de l'effet Doppler (en cas d'éloignement) :

$\boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 + \frac{v}{c} } \; }$.

3. Formules de l'effet Doppler

• Lorsque l'émetteur d'un signal périodique se rapproche d'un récepteur fixe :

  $\circ\quad$Formule générale : $\boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 - \frac{v}{c} } \; }$ donc \boxed{ f_R > f_E \; } ;

  $\circ\quad$$v\ll c \Rightarrow$ $\boxed{ f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E }$.

• Lorsque l'émetteur d'un signal périodique s'éloigne d'un récepteur fixe :

  $\circ\quad$Formule générale : $\boxed{ f_R = \dfrac{f_E}{ 1 + \frac{v}{c} } \; }$ donc \boxed{ f_R < f_E \; } ;

  $\circ\quad$$v\ll c \Rightarrow$ $\boxed{f_R \approx ( 1 - \frac{v}{c} ) \; f_E \; }$.

  avec :

  $\circ\quad$ $f_E$ : fréquence du signal émis ;

  $\circ\quad$ $f_R$ : fréquence du signal reçu ;

  $\circ\quad$ $v$ : vitesse de l'émetteur ;

  $\circ\quad$ $c$ : vitesse de propagation (ou célérité) du signal.

• Remarques :

  $\circ\quad$ $v$ et $c$ sont ici positifs (il s'agit de la valeur des vitesses) ;

  $\circ\quad$ $c$ est la vitesse de propagation du signal (pas forcément celle de la lumière) ;

  $\circ\quad$ Il n'y a effet Doppler que si le signal est plus rapide que l'émetteur ($v \lt c$). Dans le cas contraire, d'autres phénomènes se produisent (bang sonique d'un avion qui franchit le mur du son, par exemple).

• $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION !}}$ Ces formules ne s'appliquent que dans les conditions suivantes :

  $\circ\quad$ L'émetteur doit se déplacer sur la droite qui le relie au récepteur, à vitesse constante ;

  $\circ\quad$ Le récepteur est immobile. S'il y a un milieu de propagation, celui-ci doit aussi être immobile (par exemple l'air ambiant dans le cas d'un signal sonore) ;

  $\circ\quad$ La vitesse de l'émetteur est très inférieure à celle de la lumière dans le vide (environ $300~000~km/s$).

IV. Autres cas d'effet Doppler

• L'effet Doppler se produit dans beaucoup d'autres situations, et les formules se compliquent alors un peu. Par exemple :

  $\circ\quad$ Lorsque l'émetteur ne se dirige pas droit sur le récepteur ;

  $\circ\quad$ Lorsque le récepteur ou le milieu de propagation se déplacent aussi (en cas de vent par exemple) ;

  $\circ\quad$ Lorsque le mouvement est relativiste (hors programme), c'est-à-dire si $v \gt 0,1~c$ (où $c \approx 300~000~km/s$).

• $\textcolor{purple}{\text{Important !}}$ Si un exercice porte sur l'effet Doppler dans une telle situation, l'énoncé devra indiquer les formules à utiliser.

V. Décalage Doppler en fréquence

• On appelle décalage Doppler la différence entre fréquence du signal reçu ($f_R$) et fréquence du signal émis ($f_E$) : il est noté $\Delta f$ et s'exprime en $Hz$ :

  $\circ\quad$ $\boxed{\Delta f = f_R - f_E \gt 0~Hz}$ en cas de rapprochement de la source ;

  $\circ\quad$ $\boxed{\Delta f = f_R - f_E \lt 0~ Hz}$ en cas d'éloignement de la source.

• Remarque :

  $\circ\quad$ Dans le cas où $v \ll c$, l'expression du décalage Doppler $\Delta f$ est simple :

  $\blacktriangleright$ En cas de rapprochement de la source :

  $f_R \approx ( 1 + \dfrac{v}{c} ) \; f_E$

  donc $\Delta f = f_R - f_E \approx \dfrac{v}{c} \; f_E$

  $\blacktriangleright$ En cas d'éloignement de la source :

  $f_R \approx ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; f_E$

  donc $\Delta f = f_R - f_E \approx - \dfrac{v}{c} \; f_E$

  $\circ\quad$ Ce qui peut se résumer par la formule :

  $\boxed{ |\Delta f| \approx \dfrac{v}{c} \; f_E }$ (si $v \ll c$)

  avec :

  $\blacktriangleright$ $f_E$ : fréquence du signal émis ;

  $\blacktriangleright$ $v$ : vitesse de l'émetteur ;

  $\blacktriangleright$ $c$ : vitesse de propagation du signal.

VI. Décalage Doppler en astronomie

• Dans le cas des ondes électromagnétiques se propageant dans le vide (ou dans l'air), la célérité $c$ de l'onde est la même pour l'émetteur et le récepteur ($c \approx 300~000~km/s$), mais la fréquence et la longueur d'onde sont différentes. Ainsi, en astronomie, on observe des décalages dans les raies caractéristiques du spectre des étoiles.

• Dans ce cas, l'effet Doppler peut aussi s'exprimer avec les longueurs d'onde :

  $\circ\quad$ il suffit de remarquer que : $\boxed{ \lambda = \frac{c}{f} \; }$ ($c$ étant ici une constante)

  $\circ\quad$et d'inverser les formules Doppler générales (en fréquence), pour obtenir :

  en cas de rapprochement : $\boxed{ \lambda_R = \left( 1 - \frac{v}{c} \right) \lambda_E \; }$

  en cas d'éloignement : $\boxed{ \lambda_R = \left( 1 + \frac{v}{c} \right) \lambda_E \; }$

  $\circ\quad$ On notera que l'effet sur la longueur d'onde est l'inverse de celui sur la fréquence ! Si la fréquence diminue, la longueur d'onde augmente et vice versa.

VII. Illustration du décalage vers le rouge

• Le dessin amusant qui suit illustre le phénomène de décalage vers le rouge (redshift en anglais) qu'on observe en analysant la lumière provenant des galaxies qui s'éloignent de la Terre.

• A noter que pour observer du rouge (ou du bleu) à la place du vert, il faut que la source se déplace à environ $20 \%$ de la vitesse de la lumière ! Donc aucun souci avec les feux tricolores sur Terre : même en roulant à $300~km/h$, les feux verts restent verts !

VIII. Application

1. Énoncé

Un piéton immobile au bord du trottoir, entend arriver au loin un camion de pompiers lancé à $75~km/h$. On suppose que le camion se dirige droit sur le piéton. La sirène des pompiers émet une suite de 2 notes : si et la.

Données :

• Vitesse du son : $c = 340 m/s$ ;

• Formules Doppler : dans le cas d'un émetteur $E$ mobile et d'un récepteur $R$ fixe, l'émetteur se déplaçant sur l'axe $(ER)$ :

  (a) $\boxed{ f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E }$ (si $v \ll c$) ;

  (b) $\boxed{ f_R \approx ( 1 - \frac{v}{c} ) \; f_E }$.

  Avec : $f_R$ : fréquence reçue, $f_E$ : fréquence émise, $v$ : vitesse de l'émetteur, $c$ : célérité du signal.

• Fréquences des notes :

  $\circ\quad$sol : 395 Hz ;

  $\circ\quad$sol# : 415 Hz ;

  $\circ\quad$la : 440 Hz ;

  $\circ\quad$si^b : 466 Hz ;

  $\circ\quad$si : 494 Hz ;

  $\circ\quad$do : 523 Hz ;

  $\circ\quad$do# : 554 Hz ;

  $\circ\quad$ré : 587 Hz.

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ Quelle formule Doppler s'applique à cette situation ? Justifier.

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ Quelles sont les notes perçues par le piéton ?

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Quelles notes perçoit le conducteur du camion ?

$\textcolor{purple}{\text{4.}}$ Que se passerait-il si le camion roulait en sens inverse ?

2. Solution

$\textcolor{purple}{\text{1.}}$ Dans cette situation, l'émetteur $E$ du son est le camion de pompiers qui se rapproche du piéton $R$. Il y a donc effet Doppler. D'autre part, nous savons que :

• E est mobile, $R$ est fixe par rapport au sol, $E$ se dirige droit sur $R$ ;

• En cas de rapprochement, $f_R \gt f_E$ ;

• Et que $v = 75 km/h \approx 21 m/s$ qui est petit devant $c = 340~m/s$ donc c'est la formule (a) qui s'applique (car il faut que : $f_R \gt f_E$).

$\textcolor{purple}{\text{2.}}$ Il suffit d'appliquer la formule aux fréquences des notes si et la :

$f_R \approx ( 1 + \frac{v}{c} ) \; f_E = ( 1 + \frac{20,83}{340} ) \; f_E = 1,06 f_E$

• Pour un la ($f_E = 440~Hz$) : $f_R = 1,06 \times 440 \approx 466~Hz$.

• Pour un si : $f_R = 1,06 \times 494 \approx 523~Hz$.

• Le piéton entend une suite de do et de si bémol !

$\textcolor{purple}{\text{3.}}$ Dans le camion, il n'y a aucun effet Doppler puisque la sirène est fixée au camion. Le conducteur entend donc le "vrai pin-pon" : si-la-si-la ...

$\textcolor{purple}{\text{4.}}$ Si le camion s'éloigne du piéton, il faut appliquer la formule (b) :

$f_R \approx ( 1 - \dfrac{v}{c} ) \; f_E = 0,94 f_E$

• Pour un la : $f_R = 0,94 \times 440 \approx 414~Hz$.

• Pour un si : $f_R = 0,94 \times 494 \approx 464~Hz$.

• Le piéton entend une suite de notes différente : sol# - si bémol ...

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}