Produit d'un vecteur par un réel

Il n’est pas possible de définir une multiplication de vecteurs dont le résultat serait encore un vecteur. En revanche, on peut définir la multiplication d’un vecteur par un nombre réel.

I Définition et propriétés

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ et un réel k non nuls. Pour tracer un vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ égal à $k\overrightarrow{u}$ :

• on trace une droite d de même direction que $\overrightarrow{u}$ passant par A ;

• à partir du point A, on place sur d le point B de telle sorte que AB = |k|u où u est la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$. Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a le même sens que $\overrightarrow{u}$ si k > 0 et le sens contraire si k < 0.

Exemple : Sur la figure ci-contre, k = 1,5 (positif).

Le point B a divers emplacements selon la valeur de k :

• à gauche de A si k ⩽ 0 ;

• à l’intérieur de [AO] si 0 ⩽ k ⩽ 1 ;

• à droite de O si k ⩾ 1.

Égalité de la demi-diagonale du parallélogramme

Si I est le milieu de [BC], on a la relation :

$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AS}}=\overrightarrow{2 \text{AI}}$

II Effet de transformations sur les vecteurs

Par une symétrie centrale (ici de centre I), deux points A et B sont transformés en A′ et B′. On a :

$\overrightarrow{\text{A′B′}}=–\overrightarrow{\text{AB}}=(–1)\overrightarrow{\text{AB}}$

Dans une configuration de Thalès, c’est-à-dire lorsque les droites (AB) et (A′B′) des triangles OAB et OA′B′ sont parallèles on a :

$\overrightarrow{\text{OA′}}=k\overrightarrow{\text{OA}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{OB′}}=k\overrightarrow{\text{OB}}$ et $\overrightarrow{\text{A′B′}}=k\overrightarrow{\text{AB}}$

Méthode

Utiliser les effets de transformations sur les vecteurs

On construit un hexagone régulier ABCDEF de centre O par la méthode de la rosace. On sait alors que le côté de l’hexagone est égal au rayon du cercle circonscrit (en rouge).

1. Justifier que (AB) ∕∕ (FC) ∕∕ (ED) puis (BC) ∕∕ (AD) ∕∕ (FE) et (AF) ∕∕ (BE) ∕∕ (CD).

2. Compléter les égalités suivantes :

a. $\overrightarrow{\text{FC}}=\dots \overrightarrow{\text{AB}}$
b. $\overrightarrow{\text{BC}}=\dots \overrightarrow{\text{DA}}$
c. $\overrightarrow{\text{OE}}=\dots \overrightarrow{\text{BE}}$

3. Exprimer $\overrightarrow{\text{BE}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{BO}}$, et $\overrightarrow{\text{CO}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{CF}}$.

4. Exprimer $\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{OB}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{AO}}$.

5. Est-il possible d’exprimer $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DE}}$ à l’aide de $\overrightarrow{\text{BC}}$ ?

Repère
ConseilS

1. Utilisez une symétrie centrale.

2. et 3. Utilisez les longueurs des côtés et des diagonales d’un hexagone régulier.

4. On pourra utiliser l’égalité de la demi-diagonale d’un parallélogramme.

5. Examinez la nature du quadrilatère ABDE.

solution

1. Par la symétrie centrale de centre O, A est transformé en D et B en E. Donc (AB) ∕∕ (DE). Comme ABOF est un losange, (AB) ∕∕ (FO) donc (AB) ∕∕ (FC). On a donc bien (AB) ∕∕ (FC) ∕∕ (ED). Les parallélismes des autres droites se démontrent de façon analogue.

2. Comme FC = AD = BE (diamètre du cercle) et AB = BC = OE (rayon du cercle), on trouve, avec le parallélisme démontré précédemment :

a. $\overrightarrow{\text{FC}}=2 \overrightarrow{\text{AB}}$
b. $\overrightarrow{\text{BC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}=–\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{DA}}$
c. $\overrightarrow{\text{OE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{BE}}$

3. On trouve de même : $\overrightarrow{\text{BE}}=2\overrightarrow{\text{BO}}$ et $\overrightarrow{\text{CO}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{CF}}$.

4. D’après la définition d’une somme vectorielle on a, dans le parallélogramme OFAB : $\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OA}}$, donc $\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{OB}}=–\overrightarrow{\text{AO}}$.

5. ABDE est un parallélogramme car ses côtés opposés [AB] et [ED] sont parallèles et de même longueur. Donc, d’après la définition d’une somme vectorielle, $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DE}}=\overrightarrow{\text{DA}}$. Comme $\overrightarrow{\text{DA}}=2\overrightarrow{\text{CB}}=–2\overrightarrow{\text{BC}}$ on en déduit que $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DE}}=–2\overrightarrow{\text{BC}}$.

Il est donc possible d’exprimer $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DE}}$ à l’aide de $\overrightarrow{\text{BC}}$.