Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l’opération inverse de la dérivation.
I. Solution d’une équation différentielle
Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l’inconnue de l’équation) et ses dérivées.
Exemples : y′=1−y ; y′=y2 ; y″+ω2y=0.
On appelle solution de l’équation différentielle (E) sur un intervalle I une fonction définie sur I qui vérifie (E) pour tous les réels de I.
Exemple : La fonction x↦−1x est solution sur ]0 ; + ∞[ de l’équation différentielle y′=y2.
Résoudre une équation différentielle (E) sur un intervalle I revient à trouver l’ensemble des solutions de (E) sur I.
Exemple : Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=y sont les fonctions de la forme x ↦ Cex où C est un réel quelconque.
À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution f de l’équation différentielle y ′ = y, qui vérifie f(0) = 1.
II. Notion de primitive et propriétés
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Définition : On appelle primitive de f sur I toute solution sur I de l’équation différentielle y′=f.
Conséquence : F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et :
pour tout réel x de I, F′x=fx
Propriétés :
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout x ∈ I, F(x) = G(x) + k.
À noter
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Méthode
Approcher une solution par la méthode d’Euler
On considère l’équation différentielle E: y′=−y+2.
On note f la solution de (E) telle que f(x0) = y0 (on admet qu’il en existe une et une seule).
Pour a > x0, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d’Euler, une approximation de f(a), avec un pas h.
Rappel : La courbe représentative de f admet une tangente en chacun de ses points M(α ; f(α)), et pour h très petit, on a fα+h≈fα+h×f′α. On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de f(x) pour x proche de α.
Conseils
Étape 1 On définit les suites (xn) et (yn) pour n ≥ 1 par xn = xn - 1 + h et yn = f(xn). Donnez une approximation du terme général yn.
Étape 2 Écrivez l’algorithme demandé.
Étape 1 On pose M0(x0 ; y0). On construit une suite de points Mn(xn ; yn) tels que, pour n ≥ 1, xn = xn - 1 + h et yn = f(xn) = f(xn - 1 + h).
On a donc yn≈fxn−1+h×f′xn−1. Or f(xn - 1) = yn - 1 et f est solution de (E) donc f′xn−1=−fxn−1+2=−yn−1+2. D’où yn ≈ yn - 1 (1 - h) + 2h.
Étape 2
