Loi binomial - Mathématiques - Terminale générale

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La loi binomiale est la loi d’une variable aléatoire qui formalise un schéma de Bernoulli à nn répétitions.

I. Expérience aléatoire et loi binomiale

Considérons une expérience aléatoire qui consiste à répéter nn fois une même action, les répétitions étant indépendantes. Une action produit un succès avec une probabilité pp.

Soit XX la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des nn répétitions. La loi de XX est la loi binomiale de paramètres nn et pp et on a :

X(Ω)=(0,1,2,,n)=(0 ; n)X(\Omega) = (0,1,2, \ldots ,n) = (0 ~ ; ~ n) ;

pour tout kX(Ω)k \in X(\Omega) :

P(X=k)=(nk)pk(1p)nk=(nk)pkqnkP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

À noter

Les crochets doubles indiquent qu’on considère les entiers entre 00 et nn.

(nk)\binom{n}{k} est un coefficient binomial.

On écrit que XX suit la loi B(n ; p)B(n ~ ; ~ p), en abrégé : X  B(n ; p)X \text{~} B(n ~ ; ~ p).

La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli à nn répétitions.

À noter

On pose habituellement q=1pq = 1 - p.

Une loi de Bernoulli est une loi binomiale de paramètres 11 et pp.

II. Exemples de lois binomiales et calculatrice

Une même loi binomiale décrit de nombreuses expériences aléatoires différentes. Par exemple, la loi binomiale B(5 ; 0,6)B(5 ~ ; ~ 0,6) est la loi de la variable aléatoire :

  • comptant le nombre de « pile » obtenus en 55 lancers d’une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité de « pile » soit égale à 0,60,6 ;

  • comptant le nombre de boules blanches obtenues lors d’un tirage avec remise de cinq boules dans une urne contenant 60%60 \% de boules blanches et 40%40 \% de boules noires.

Mot-clé

La loi binomiale s’appelle aussi la loi du nombre de succès au cours d’une répétition de nn épreuves identiques et indépendantes.

Les calculatrices et les tableurs disposent de fonctions dédiées à la loi binomiale. Elles figurent dans les menus relatifs aux probabilités et permettent, en fournissant les valeurs de nn, pp et kk, de calculer P(X=k)P(X=k) et P(Xk)P(X \le k).

Méthode

Identifier les paramètres n et p d’une loi binomiale

Des coques pour téléphone sont produites à 70%70 \% par une machine AA et à 30%30 \% par une machine BB. 5%5 \% des coques AA et 10%10 \% des coques BB ont un défaut.

a. On prélève une coque au hasard dans un stock. Quelle est la probabilité qu’elle ait un défaut ?

b. On choisit dix coques dans un stock. Celui-ci est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce choix à dix tirages avec remise indépendants d’une coque. Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux coques ayant un défaut ? Donner une valeur approchée à 10410^{-4} en utilisant la calculatrice.

Conseils

a. Appliquez la formule des probabilités totales, éventuellement en utilisant un arbre.

b. Utilisez une loi binomiale en identifiant nn, le nombre de répétitions, et pp, la probabilité de succès. Pensez à l’événement contraire de l’événement « au moins deux coques ».

Solution

a. L’arbre ci-dessous résume la situation, sachant que DD est l’événement « la coque présente un défaut » :

f1f72555-8772-4583-9217-2c00a3aa2fa4

Par la formule des probabilités totales on a donc :

P(D)=0,05×0,7+0,1×0,3=0,065P(D) = 0,05 \times 0,7 + 0,1 \times 0,3 = 0,065

À noter

L’événement AA (respectivement BB) est « la coque est produite par la machine AA (la machine BB) » et B=AˉB=\bar{A}.

b. Soit XX la variable aléatoire comptant le nombre de coques ayant un défaut quand on en prélève dix avec remise au hasard dans le stock.

On peut donc considérer que la probabilité pour qu’une coque prélevée soit défectueuse est égale à 0,0650,065. On en déduit que la loi de XX est la loi binomiale de paramètres 1010 et 0,0650,065.

 

On cherche donc P(X2)P(X \ge 2). On trouve : 

P(X2)=P(X \ge 2) = 11 - P(X < 2)

P(X2)=1[P(X=0)+P(X=1)]{ \phantom{P(X\ge 2)}=1-\left[P(X=0)+P(X=1)\right]}

 

La calculatrice donne :

P(X=0)+P(X=1)=(100)0,06500,93510+(101)0,06510,9359P(X=0)+P(X=1)= \binom{10}{0} 0,065^0 0,935^{10} + \binom{10}{1}0,065^1 0,935^9

P(X=0)+P(X=1)0,8656P(X=0)+P(X=1) \approx 0,8656

Par conséquent P(X2)=10,8656P(X \ge 2) = 1 - 0,8656, soit P(X2)0,1344P(X \ge 2) \approx 0,1344.