Limites et compléments sur la fonction exponentielle

I. Limites de référence

Lemme :
Pour tout réel $x$, e^x > x.

Propriété :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Démonstration :
Par le lemme, pour tout réel $x$, e^x > x.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$

Donc, par le théorème de minoration, on a : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Propriété :
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Démonstration :
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = \displaystyle\lim_{y \to +\infty} e^{-y}$
$\dfrac{1}{e^y} = e^{-y}$

Et comme $\displaystyle\lim_{y \to +\infty} e^y = +\infty$, on a $\displaystyle\lim_{y \to +\infty} \dfrac{1}{e^y} = 0$.

Donc : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

II. Croissances comparées

Théorème des croissances comparées : Soit $n \geq 1$,

$\circ\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\circ\quad$$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\circ\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n e^{-x} = 0$

Démonstration :
D’après le lemme :
$\dfrac{e^x}{x^{n+1}} \geq \dfrac{x^{n+1}}{x^{n+1}} \implies e^x \geq x^{n+1}$

On pose k = \dfrac{1}{n+1} > 0. On a donc :
$e^x \geq kx^{n+1}$

Ainsi, pour tout x > 0 :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} kx^{n+1} = +\infty$

Donc, par le théorème de minoration : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

Remarque :
On énonce souvent ces résultats à l’aide de la règle opératoire suivante :
"En $+\infty$, l’exponentielle ($e^x$) l’emporte sur les puissances ($x^n$)."