Limites et compléments sur la fonction exponentielle

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Dans cette leçon, tu vas découvrir les limites fondamentales de la fonction exponentielle, en particulier son comportement à l’infini. Tu apprendras à démontrer ces limites et à les utiliser pour comparer la croissance de l’exponentielle avec celle des fonctions puissances. Cette comparaison joue un rôle essentiel dans l’analyse des fonctions, notamment pour classer les croissances ou établir des asymptotes. Mots-clés : exponentielle , limite, plus l’infini, moins l’infini, croissance comparée, domination asymptotique.

I. Limites de référence

Lemme :
Pour tout réel xx, ex>xe^x > x.

Propriété :
limx+ex=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

Démonstration :
Par le lemme, pour tout réel xx, ex>xe^x > x.

limx+x=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x = +\infty

Donc, par le théorème de minoration, on a : limx+ex=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

Propriété :
limxex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0

Démonstration :
limxex=limy+ey\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = \displaystyle\lim_{y \to +\infty} e^{-y}
1ey=ey\dfrac{1}{e^y} = e^{-y}

Et comme limy+ey=+\displaystyle\lim_{y \to +\infty} e^y = +\infty, on a limy+1ey=0\displaystyle\lim_{y \to +\infty} \dfrac{1}{e^y} = 0.

Donc : limxex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0

II. Croissances comparées

Théorème des croissances comparées : Soit n1n \geq 1,

\circ\quad limx+exxn=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

\circ\quadlimx+exxn=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

\circ\quad limxxnex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n e^{-x} = 0

Démonstration :
D’après le lemme :
exxn+1xn+1xn+1    exxn+1\dfrac{e^x}{x^{n+1}} \geq \dfrac{x^{n+1}}{x^{n+1}} \implies e^x \geq x^{n+1}

On pose k=1n+1>0k = \dfrac{1}{n+1} > 0. On a donc :
exkxn+1e^x \geq kx^{n+1}

Ainsi, pour tout x>0x > 0 :
limx+kxn+1=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} kx^{n+1} = +\infty

Donc, par le théorème de minoration : limx+exxn=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

Remarque :
On énonce souvent ces résultats à l’aide de la règle opératoire suivante :
"En ++\infty, l’exponentielle (exe^x) l’emporte sur les puissances (xnx^n)."