Les vecteurs de l’espace

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On peut étendre à l’espace, qui est muni d’un repère orthonormé (O  ;  i  ,j  ,k)(O\;;\;\overrightarrow{i}\;,\overrightarrow j \;,\overrightarrow{k}), la notion de vecteur vue dans le plan, et les opérations associées.

I. Définitions et opérations

1) Vecteurs de l’espace

Soit A et B deux points de l’espace. Le vecteur AB\overrightarrow{AB} est défini par :

sa direction, celle de la droite (AB)(AB) ;

son sens, de A vers B ;

sa norme, notée   AB||\overrightarrow{AB}||  , qui est la distance AB=ABAB=||\overrightarrow{AB}|| ​.

Comme en géométrie plane, on peut définir la translation de vecteur AB\overrightarrow{AB} (notée tABt_{\overrightarrow{AB}}) qui transforme le point A en le point B.

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Pour tous points A, B, C, D :

AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\LeftrightarrowABCDABCD est un parallélogramme. 

2) Addition de deux vecteurs

Soit u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs. On définit le vecteur u+v\overrightarrow{u+v} en construisant un parallélogramme : si u=AB\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et v=AC\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} ,

alors u+v=AD\overrightarrow{u+v}=\overrightarrow{AD} tel que ABDC est un parallélogramme. L’image du point C par la translation de vecteur AB\overrightarrow{AB}  est D.

Pour tous les points A, B et C : AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}  (relation de Chasles).

3) Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit u\overrightarrow{u}  un vecteur de l’espace, u0\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}, et α un réel, α≠0.

Le produit du vecteur u\overrightarrow{u}  par le réel α est le vecteur noté aua\overrightarrow{u}  qui a :

la même direction que u\overrightarrow{u}  ;

le même sens que u\overrightarrow{u}  si α>0, le sens contraire si α<0 ;

pour norme   au=a×u||\overrightarrow{au}||=|a|\times ||\overrightarrow{u}||  .

Si u=0\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} ou α=0, alors au=0\overrightarrow{au}=\overrightarrow{0} .

Pour tous nombres réels aa et bb, et tous vecteurs u\overrightarrow{u}  et v\overrightarrow{v}  de l’espace :

À noter

Comme dans le plan, le vecteur nul, noté 0\overrightarrow{0} , est le vecteur dont la norme est égale à 0. L’opposé d’un vecteur u\overrightarrow{u}  est le vecteur u\overrightarrow{-u} .

a(u+v)=au+ava(\overrightarrow{u}+\overrightarrow v)=\overrightarrow{au}+\overrightarrow{av}  et (a+b)u=au+bv(a+b)\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}.

II. Vecteurs colinéaires et points alignés, coordonnées

Soit A, B et C trois points de l’espace.

A, B, C alignés AB et AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC} colinéaires \Leftrightarrow Il existe aR tel que AC=aABa\in \textbf R \text{ tel que } \overrightarrow{AC}=a\overrightarrow{AB}.

Pour tous vecteurs u\overrightarrow{u} (x ; y ; z) et v\overrightarrow{v} (x′ ; y′ ; z′) de l’espace, et tout a∈ℝ : u+v\overrightarrow{u+v} (x+x′ ; y+y′ ; z+z′) et au\overrightarrow{au} (a x ; a y ; a z).

Soit A(xA  ;  yA  ;  zA)A(x_A\;;\; y_A \;;\; z_A) et B(xB  ;  yB  ;  zB)B(x_B \;;\; y_B \;;\; z_B) deux points de l’espace. On note II le milieu de [AB][AB].

AB (xBxA  ;  yByA  ;  zBzA)\overrightarrow{AB}~(x_B-x_A\;;\;y_B-y_A\;;\;z_B-z_A)

I (xA+xB2  ;  yA+yB2  ;  zA+zB2)I~\left(\dfrac{xA+xB}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)

Pour tous points A(xA  ;  yA  ;  zA)A(x_A\;;\; y_A \;;\; z_A) et B(xB  ;  yB  ;  zB)B(x_B \;;\; y_B \;;\; z_B)  de l’espace :

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2=AB||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=AB

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Méthode

Utiliser les propriétés des vecteurs de l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O  ;  i  ,j  ,k)(O\;;\;\overrightarrow{i}\;,\overrightarrow j \;,\overrightarrow{k}), on considère les points A(2 ; − 1 ; 3), B(−1 ; − 2 ; 5) et C(8 ; 1 ; − 1).

a. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

b. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].

Conseils

a. Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}, puis cherchez un nombre réel a tel que AC=a×AB\overrightarrow{AC}=a\times \overrightarrow{AB}.

b. Appliquez la formule I (xA+xB2  ;  yA+yB2  ;  zA+zB2)I~\left(\dfrac{xA+xB}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right).

Solution

a. AB (12  ;  2(1)  ;  53)\overrightarrow{AB}~(-1-2\;;\;- 2-(-1)\;;\;5-3), soit AB (3  ;  1  ;  2)\overrightarrow{AB}~(-3\;;\;- 1\;;\;2).

AC (82  ;  1(1)  ;  13)\overrightarrow{AC}~(8-2\;;\;1-(-1)\;;\;- 1-3), soit AC (6  ;  2  ;  4)\overrightarrow{AC}~(6\;;\;2\;;\;- 4).

Ainsi AC = 2AB\overrightarrow{AC}~=~-2\overrightarrow{AB}, donc les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Les points A, B et C sont donc alignés.

b. I (2+82  ;  1+12  ;  3+(1)2)I~\left(\dfrac{2+8}{2}\;;\;\dfrac{-1+1}{2}\;;\;\dfrac{3+(-1)}{2}\right), soit I (5  ;  0  ;  1)I~(5\;;\;0\;;\;1).