Les homothéties

I. Définition

Une homothétie est une transformation du plan qui agrandit ou réduit une figure.

II. Propriétés

$\checkmark$ Un point et son image sont toujours alignés avec le centre de l'homothétie.

$\checkmark$ Si les deux figures sont situées du même côté de $F$, alors le rapport est positif.

$\checkmark$ Si les figures sont situées de part et d'autre du point $F$, alors le rapport est négatif.

$\checkmark$ Si le rapport est supérieur à 1, alors on a un agrandissement.

$\checkmark$ Si le rapport est inférieur à -1, alors on a un agrandissement.

$\checkmark$ Si le rapport est compris entre -1 et 1, alors on a une réduction.

$\checkmark$ Un segment et son image sont parallèles.

III. Cas général

Soit une homothétie de rapport $k$ réel non nul.

$\checkmark$ Si $k\gt 0$ alors l'homothétie multiplie les longueurs par $k$ et les aires par $k^2$.

$\checkmark$ Si $k\lt 0$ alors l'homothétie multiplie les longueurs par $-k$ et les aires par $k^2$.

IV. Les configurations de Thalès

Les longueurs sont proportionnelles. Dans chacune des configurations, le triangle $ABC$ est l'image du triangle $AMN$ dans une homothétie de centre A. On dit que les triangles sont homothétiques.

Remarque : les longueurs étant proportionnelles, les triangles sont semblables.

V. Construction d'une image par homothétie

Soit à construire l'image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$.

On trace la droite $(OA)$ et on reporte au compas la longueur $OA$.

Les longueurs sont multipliées par 2, l'aire est multipliée par $2\times 2=4$. Les angles sont conservés, le parallélisme est conservé.