Les fonctions affines

Les fonctions affines ont été vues en 3^e puis en 2^nde. Ce cours va mettre en valeur ce dont vous pouvez avoir besoin en liaison avec le programme de 1^ere. 

I. Définition

On appelle fonction affine, toute fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels, noté $\mathbb{R}$, par $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x-5$ est une fonction affine.

Remarque : Si le nombre $b=0$ on parle alors de fonction linéaire.

Ainsi la fonction définie par $f(x)=3x$ est linéaire. En revanche la fonction définie par $f(x)=2x^2-3$ n'est ni linéaire, ni affine.

Définitions : Soit $f$ est une fonction affine définie pour tous réels $x$ par $f(x)=ax+b$.

• Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur de la droite repésentant $f$.
• Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite repésentant $f$.
  
  Le coefficient directeur indique « la vitesse » à laquelle la fonction progresse verticalement et l'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentant la fonction et l'axe des ordonnées.
  
  Exemple : Si $f(x)=2x-5$, le coefficient directeur est 2 et l'ordonnée à l'origine est -5. 

II. Représentation graphique et variations

Propriété :  La représentation graphique, dans un repère du plan, d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple : On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\frac{1}{4}x+3$. On souhaite en fournir une représentation graphique.

Pour cela on choisit deux nombres au hasard et on va calculer les images respectives. En théorie, ces nombres peuvent être quelconques mais dans la pratique, du fait des erreurs de tracés, il est préférable d'avoir un écart raisonnable, dépendant du repère utilisé.

Ici, on va utiliser, par exemple $x=0 \text{ et } x=8$. 
$f(0) = -\frac{1}{4}\times 0+3=0+3=3$. Par conséquent la droite représentant la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(0\;;\;3)$

$f(8)=-\frac{1}{4}\times8+3=-2+3=1$. Par conséquent la droite représentant la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(8\;;\;1)$.

Remarque : La droite représentant une fonction linéaire passe par l'origine du repère. 

Variations d'une fonction affine : 

Soit $f$ est une fonction affine définie sur $\textbf R$ par $f(x)=ax+b$.

• Si $a$ > $0$ alors $f$ est croissante.
• Si $a$ < $0$ alors $f$ est décroissante.
• Si $a= 0$ alors $f$ est constante. 

III. Lien entre taux d'accroissement et coefficient directeur

Soit la fonction affine $f$ définie sur $\textbf R$ par $f(x)=ax+b$.

Calcul du taux d'accroissement entre deux points : 

Soient $p$ et $q$ (distints) les abscisses de ces deux points.

$f(p)=ap+b$ et $f(q)=aq+b$ donc

$f(p)-f(q)=(ap+b)-(aq+b)=ap-aq$

${\phantom{f(p)-f(q)}=a(p-q)}$

Alors : 

$\dfrac{f(p)-f(q)}{p-q}=\dfrac{a(p-q)}{p-q}=a$

Conclusion : le taux d'accroissement entre deux points est toujours égal au coefficient directeur de la droite représentative de la fonction affine.

Lecture graphique d'un coefficient directeur : 

Exemple 1 : On considère la fonction affine $f$ définie sur $\textbf R$ par $f(x)=3x-1$.

$\overrightarrow{AC}$ est un vecteur directeur de la droite représentant $f$.

$\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(+1\;;\;+3)$, dit autrement, lorsque je me décale de $+1$ vers la droite, je dois « monter » de $+3$. Le coefficient directeur est $+3$.

Exemple 2 : On considère la fonction affine $g$ définie sur $\textbf R$ par $g(x)=-4x+15$.

$\overrightarrow{DF}$ est un vecteur directeur de la droite représentant $g$.

$\overrightarrow{DF}$ a pour coordonnées $(+1\;;\;-4)$, dit autrement, lorsque je me décale de $+1$ vers la droite, je dois « descendre » de $4$. Le coefficient directeur est $-4$.

Exemple 3 : On donne dans un repère du plan les points $M(3\;;\;5)$ et $N(-1\;;\;4)$. Donner l'expression de la fonction affine qui admet $(MN)$ pour représentation graphique.

Résolution : Soit $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels.

Le nombre $a$ est égal au taux d'accroissement entre $M$ et $N$. Donc : 

$a=\dfrac{y_N-Y_M}{x_N-x_M}=\dfrac{4-5}{-1-3}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac 14$

Donc $f(x)=\dfrac 1 4 x +b$. 

Déterminons $b$. Je sais que la droite passe par $N(-1\;;\;4)$ (dit autrement lorsque je remplace $x$ par $1$, je dois remplacer $f(x)$ par $4$.

$4=\dfrac 1 4\times (-1)+b$

$4=-\dfrac 1 4 +b$ soit $4+\dfrac 1 4 =b$ et $b=\dfrac{17}{4}$

En conclusion : $f(x)=\dfrac 1 4 x+\dfrac{17}{4}$.