Démonstration 1 : Soit à démontrer la propriété suivante.
Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque. Soient u et v deux vecteurs non colinéaires d'un plan P, w un vecteur de P et n un vecteur orthogonal à u et v. Il existe donc deux réels a et b tels que w=au+bv. Ainsi w.n=au.n+bv.n=0. Le vecteur n est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan P. Il lui est par conséquent orthogonal.
Démonstration 2 : soit à démontrer le théorème suivant
Théorème : On considère un vecteur n(a,b,c) normal à un plan P. Il existe alors un réel d tel qu'une équation du plan P soit ax+by+cz+d=0. Cette équation est appelée équation cartésienne du plan P.
Soit A0(x0,y0,z0) un point du plan P. Pour tout point M(x,y,z), les vecteurs n et A0M sont orthogonaux. Par conséquent n.A0M=0. Or A0M(x−x0,y−y0,z−z0). Ainsi : a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0⇔ax+by+cz−(ax0+by0+cz0)=0 En posant d=−(ax0+by0+cz0), on obtient l'équation ax+by+cz+d=0.
Démonstration 3 : soit à démontrer la propriété réciproque
Propriété réciproque : On considère trois réels a,b,c non tous nuls et un réel quelconque d. L'ensemble E des points M(x,y,z) tels que ax+by+cz+d=0 est un plan dont un vecteur normal est n(a,b,c).
On peut supposer que a=0. Par conséquent les coordonnées du point A(−ad;0;0) vérifient l'équation ax+by+cz+d=0. On considère le vecteur non nul n(a,b,c). Soit M(x,y,z) un point de E. On a alors AM.n=a(x+ad)+by+cz=ax+by+cz+d. Puisque M∈E, on a donc AM.n=0. Ainsi E est l'ensemble des points M tels que AM et n soient orthogonaux. Il s'agit donc du plan passant par A dont un vecteur normal est n.