Le petit théorème de Fermat

I. Le petit théorème de Fermat

$p$ est un nombre premier, $a$ est un entier tel que $a \geq 2$ et non divisible par $p$.

Alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$, c’est-à-dire : $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Une conséquence de ce théorème en donne un autre énoncé possible :

Cela peut également s'énoncer ainsi :

$p$ est un nombre premier, $a$ est un entier supérieur ou égal à $2$.

Alors $a^p - a$ est divisible par $p$, c’est-à-dire : $a^p \equiv a \pmod{p}$.

Exemple :

$5$ est premier et ne divise pas $14$ (qui est supérieur à $2$).

Alors : $14^4-1$ est divisible par $5$. (Petit théorème de Fermat)

Ce qui peut s’écrire également :

$14^5-14$ est divisible par $5$ soit $14^5\equiv 14\,[5]$ (Conséquence du petit théorème de Fermat).

II. Point méthode

$1.$ Trouver un reste de division euclidienne

Énoncé

Quel est le reste de la division euclidienne de $13^{16}$ par 17

Solution :

17 est un nombre premier et 17 ne divise pas 13. Par application du petit théorème de Fermat :
$13^{17-1} \equiv 1 _, [17]$ soit $13^{16} \equiv 1 \, [17]$.

0 \leq 1 < 17, donc le reste de la division de $13^{16}$ par 17 est 1.

$2.$ Montrer une divisibilité

Énoncé

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère l'entier naturel $a = n^5 - n$.
a) Démontrer que $a$ est divisible par $3n - n$.
b) Démontrer que $a$ est divisible par 30.

Solution :

a) $n^5 - n = n(n^4 - 1)$.
Or $n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$ et donc :
$n^5 - n = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n^3 - n)(n^2 + 1)$.
Ainsi, $a$ est divisible par $n^3 - n$.

b) $5$ est un nombre premier, donc d’après la conséquence du petit théorème de Fermat, $5$ divise $n^5 - n$.
De même, $3$ est un nombre premier, donc $3$ divise $n^3 - n$.
Par conséquent, d’après a), $3$ divise $n^5 - n$.
$n^5 - n = n(n^4 - 1) = (n^2 - n)(n^2 + 1)$.
$2$ est premier, il divise donc $n^2 - n$ et donc $n^5 - n$.

Conclusion : $2$ divise $a$, $3$ divise $a$, $5$ divise $a$.
$2$, $3$ et $5$ sont premiers entre eux, donc $30$ divise $a$.