La notion d’onde

I.Le spectre d’amplitude d’un signal périodique

1) Différents signaux

De nombreux signaux analogiques ou numériques sont utilisés dans les communications entre machines ou entre humains. Le support est, le plus souvent, une tension mais ce peut être une onde électromagnétique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques) ou une onde sonore.

L’information transportée est :

• un message audio (parole, musique) ;
• un message vidéo (image TV) ;
• un message binaire ;
• un signal analogique de l’état d’un capteur.

Une façon naturelle de connaître un signal est d’observer son allure en fonction du temps, ou représentation temporelle. On observe ainsi plusieurs types de signaux :

Remarque

Le bruit n’est pas un signal périodique.

2) La représentation fréquentielle d’un signal

Un signal continu a une représentation temporelle horizontale, ici s(t) = 5 en noir.

Un signal sinusoïdal a une forme caractéristique, ici s₁(t) = 3 sin (2Π t) en violet.

Un signal sinusoïdal associé à une composante continue donne : s₂(t) = 3 + 2 sin (4Π t) en vert.

Évolution temporelle des signaux s, s1 et s2

Un signal sinusoïdal s’écrit :

Amplitude en fonction de la fréquence

La représentation en fréquence d’un signal est un graphe faisant apparaître l’amplitude en fonction de la fréquence :

• s(t) apparaît pour la fréquence f = 0 et une amplitude égale à 5 ;
• s₁(t) = 3 sin (2Π t) = 3 sin (2Π × 1 × t) a une amplitude valant 3 pour une fréquence f = 1 Hz. Il est représenté par un segment vertical d’amplitude 3 à la fréquence f = 1 Hz ;
• s₂(t) = 3 + 2 sin (4Π t) = 3 + 2 sin (2Π × 2 × t) a une amplitude valant 2 pour une fréquence f = 2 Hz. Il est représenté par un segment vertical d’amplitude 2 à la fréquence f = 2 Hz, et sa composante continue par un segment vertical d’amplitude 3 pour f = 0.

3) La décomposition d’un signal périodique

Il est possible de trouver le spectre d’amplitude d’un signal périodique avec la décomposition en série de Fourier. En effet, le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t), de forme quelconque, mais périodique de période To, peut s’écrire sous la forme suivante :

x(t) = X₀ + X₁sin(2Π.f₁ t + ϕ₁) + X₂sin(2Π.2f₁ t + ϕ₂) + X₃sin(2Π.3f₁ + ϕ₃) +… + X_nsin(2Π.nf₁ t + ϕ_n),

avec X₀ la valeur moyenne du signal, X₁ l’amplitude du fondamental, X₂ l’amplitude de l’harmonique 2, …, X_n l’amplitude de l’harmonique nx.

La première fréquence f₁ est le fondamental, c’est la fréquence du signal. L’harmonique de rang n est à la fréquence nf₁.

Cette décomposition peut aussi s’écrire de la façon suivante :

x(t) = X₀ + Σ X_nsin(2Π nf₁ t + ϕ_n).

Le spectre représentant les amplitudes X_n en fonction de la fréquence n f₁ a l’allure suivante :

Le spectre d’un signal périodique est toujours un spectre de raies, qui ne peuvent se trouver qu’aux fréquences nf₁.

Exemple

Un signal périodique a une fréquence f = 170 Hz. Il comporte aussi un harmonique de fréquence f _n = 850 Hz. En faisant le rapport fnf = 850170 = 5, on en déduit qu’il s’agit de l’harmonique de rang 5.

Remarque

Deux signaux périodiques ayant le même spectre peuvent avoir des formes différentes ! Le spectre en fréquence ne suffit pas à caractériser un signal.

II. La transmission d’un signal périodique

Pour transmettre un signal complexe sans le détériorer, il faut déterminer l’intervalle de fréquence nécessaire pour le nombre d’harmoniques choisis. L’analyse de Fourier aide au choix du dernier harmonique à conserver.

Ainsi, pour un signal de fréquence f₁ = 250 Hz, comportant des amplitudes importantes jusqu’au septième harmonique, il faut un intervalle de fréquence minimal de 7 f₁ = 1 750 Hz = 1,75 kHz.