Interférences par division de front d'onde : les trous d'Young

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I. Dispositif à trous d'Young

1. Définition

Le dispositif à trous d'Young est un dispositif à division de front d'onde qui permet une division géométrique du faisceau.

2. Schéma du dispositif

II. Déphasage et différence de marche

1. Rappel de la notion de phase

Il a été vu dans une leçon précédente que la phase de l'onde s'écrit $(\Phi (M) - \omega \cdot t)$ avec $\Phi (M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda _0} \cdot (OM)$, où $(OM)$ est le chemin optique de $O$ à $M$ suivant le rayon lumineux, $\lambda _0 = n \cdot \lambda$ la longueur d'onde dans le vide et $n$ l'indice optique du milieu traversé par le rayon lumineux.

2. Notions de déphasage et de différence de marche

• Il a été vu dans une leçon précédente qu'on définit le déphasage entre les $2$ ondes qui arrivent en $M$ par :

  $\Delta \Phi(M) = \Phi_2 (M) - \Phi_1 (M)$

  $\Leftrightarrow \Delta \Phi(M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda_0} \cdot (SM)_2 - \dfrac{2 \pi}{\lambda_0} \cdot (SM)_1$

  • $\Leftrightarrow \Delta \Phi(M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda_0} \cdot [(SM)_2 - (SM)_1]$

  
  On pose $\boxed{\delta_{\text{géo}}(M) = (SM)_2 - (SM)_1}$ : c'est la différence de marche géométrique entre $2$ rayons qui interfèrent en $M$.

  Finalement, on peut écrire :

  $\boxed{\Delta \Phi(M) = \dfrac{2 \pi}{\lambda 0} \cdot \delta_{\text{géo}(M)}}$

• Hypothèse : dans le dispositif des trous d'Young, étant donné que la lumière ne se réfléchit pas d'un milieu moins réfringent à plus réfringent (par exemple air $\rightarrow$ verre) ou d'un milieu transparent sur un métal, il n'y pas de déphasage supplémentaire à considérer dans l'étude : $\delta _\text{géo}(M) = \delta (M)$.

3. Application aux trous d'Young

• On suppose que les trous sont équidistants de la source de lumière $S$ donc

  $(SS_1) = (SS_2)$

• On pose :

  $\circ\quad$$a = S_1S_2$ ;

  $\circ\quad$$D$ la distance projetée sur $x$ entre les sources secondaires $S_1$, $S_2$ et l'écran.

• Dans le cas usuel, $D \gg a, y, z$ si $y$ et $z$ sont les coordonnées de $M$ dans le repère choisi sur le schéma ci-dessus.

• La différence de marche géométrique s'écrit :

$\delta_{\text{géo}}(M) = (SM)_2 - (SM)_1$

$\Leftrightarrow \delta_{\text{géo}}(M) = (SS_2) + (S_2M) - (SS_1) - (S_1M)$

$\Leftrightarrow \delta_{\text{géo}}(M) = (S_2M) - (S_1M)$

• Ces chemins géométriques sont parcourus dans un milieu d'indice optique $n$, on peut donc écrire :

  $\delta_{\text{géo}}(M) = n \cdot(S_2M - S_1M)$

• Dans le repère $(O~,~\vec{x}~,~\vec{y}~,~\vec{z})$ défini sur le schéma, les coordonnées des points sont :

  $\circ\quad$ $S_1 ~(0~;~\dfrac{a}{2}~;~0)$ ;

  $\circ\quad$ $S_2 ~(0 ~;~ - \dfrac{a}{2} ~;~ 0)$ ;

  $\circ\quad$ $M ~(D ~;~ y ~;~ z)$.

• D'après le cours de mathématiques sur les normes des vecteurs, on peut écrire :

  $\circ\quad$ $S_2M = \sqrt{D^2 + \left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2}$ ;

  $\circ\quad$ $S_1M = \sqrt{D^2 + \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2}$.

• La différence de marche géométrique peut donc s'écrire :

$\delta _{\text{géo}} = n \cdot \left[\sqrt{D^2 + \left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2} - \sqrt{D^2 + \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2}\right]$

$\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = n \cdot D\left[ \sqrt{1 + \left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2 +\left(\dfrac{z}{D}\right)^2 } - \sqrt{1 + \left(\dfrac{y-a/2}{D}\right)^2 +\left(\dfrac{z}{D}\right)^2 } \right]$

• Comme $D \gg a, y, z$, on a :

$\underbrace{\left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2+\left(\dfrac{z}{D}\right)^2}_{X_1} \ll 1 ~ \text{et} ~ \underbrace{\left(\dfrac{y-a/2}{D}\right)^2+\left(\dfrac{z}{D}\right)^2}_{X_2} \ll 1$.

• On admet que $\sqrt{1+X} \approx 1+\dfrac{X}{2}$ pour $|X|\ll 1$ (développement limité de la fonction $X\mapsto\sqrt{1+X}$ à l'ordre $1$ en $0$), on peut écrire :

$\delta_{\text{géo}} = n \cdot D \cdot \left[\sqrt{1+X_1}-\sqrt{1+X_2}\right] \approx n \cdot D \cdot \left[\left(1+\dfrac{X_1}{2}\right) - \left(1 + \dfrac{X_2}{2}\right)\right]$

$\Leftrightarrow \delta_{\text{géo}} \approx n \cdot D \cdot \dfrac{X_1 - X_2}{2}$

$\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} \approx \dfrac{n \cdot D}{2} \cdot \left[\left(\dfrac{y+a/2}{D}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{D}\right)^2-\left(\dfrac{y - a/2}{D}\right)^2-\left(\dfrac{z}{D}\right)^2\right]$

$\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = \dfrac{n \cdot D}{2 D^2} \cdot \left[\left(y + \dfrac{a}{2}\right)^2 - \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2\right]$

• En remarquant que nous avons une identité remarquable, on peut écrire :

$\delta _{\text{géo}} = \dfrac{n}{2 D} \cdot \left[\left(y + \dfrac{a}{2} + y - \dfrac{a}{2}\right) \cdot \left(y + \dfrac{a}{2} - y + \dfrac{a}{2}\right)\right]$

$\Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = \dfrac{n}{2 D} \cdot (2 y \cdot a)$

$\Leftrightarrow \boxed{\delta _{\text{géo}} = \dfrac{n \cdot a \cdot y}{D}}$

• Expression de la différence de marche géométrique dans l'air :

  Ainsi, dans l'air, comme $n \approx 1$, la différence de marche géométrique s'écrit

  $\boxed{\delta _{\text{géo}} = \dfrac{a \cdot y}{D}}$

  Si :

  $\circ\quad$ $a = S_1S_2$ est la distance entre les deux sources secondaires ;

  $\circ\quad$ $D$ est la distance entre $S_1S_2$ et l'écran ;

  $\circ\quad$ $y$ est la hauteur de $M$ sur l'écran.

  Cette expression est valable à chaque fois qu'on a mis en évidence $2$ sources secondaires $S_1$ et $S_2$ et que les chemins optiques $(S_1M)$ et $(S_2M)$ sont effectués dans le même milieu.

III. Franges d'interférence : condition d'interférence constructive ou destructive

1. Définition

• Une frange d'interférence est l'ensemble des points $M$ tels que :

$\boxed{\Delta \Phi = \text{constante} \Leftrightarrow \delta _{\text{géo}} = \text{constante} \Leftrightarrow y = \text{constante}}$

• Les franges sur l'écran sont donc rectilignes, parallèles à $zz'$ et perpendiculaires à $S_1S_2$.

Elles sont d'autant plus écartées que la distance $\text{écran - trous}$ est grande.

2. Condition d'interférence constructive

• Une frange brillante en un point $M$ correspond à une amplitude de la vibration résultante maximale et égale à $2A$. Cela est rendu possible dès lors que les ondes qui interfèrent en ce point sont en phase :

$\text{Amplitude maximale pour la vibration résultante en}\ M$

$\Leftrightarrow \Delta \Phi = 2 m \cdot \pi ~~ (m \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \boxed{\delta_\text{géo} = m \cdot \lambda _0}$

• On dit qu'il y a interférence constructive.

3. Condition d'interférence destructive

• Une frange sombre en un point $M$ correspond à une amplitude de la vibration résultante minimale et égale à $0$. Cela est rendu possible dès lors que les ondes qui interfèrent en ce point sont en opposition de phase :

$\text{Amplitude minimale pour la vibration résultante en}\ M$

$\Leftrightarrow \Delta \Phi = (2 m + 1) \cdot \pi ~~ (m \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \boxed{\delta_\text{géo} = (2m + 1) \cdot \dfrac{\lambda _0}{2}}$

• On dit qu'il y a interférence destructive.

IV. Interfrange

1. Définition

• L'interfrange $i$ est la distance entre deux franges brillantes consécutives ou la distance entre deux franges sombres consécutives.

• Celle-ci a pour expression :

  $\boxed{i = \dfrac{\lambda \cdot D}{a}}$ (en $m$)

  $\circ\quad$ $a = S_1S_2$ est la distance entre les deux sources secondaires (en $m$) ;

  $\circ\quad$ $D$ est la distance entre $S_1S_2$ et l'écran (en $m$) ;

  $\circ\quad$ $\lambda$ est la longueur d'onde de la lumière monochromatique utilisée pour la source $S$ (en $m$).

2. Démonstration

• Lorsque la différence de marche dans l'air $\delta (M) = \dfrac{a \cdot y}{D}$ varie de $\lambda$, $y$ doit varier de $i$ par définition ;

• Finalement, $\lambda =\dfrac {a \cdot i}{D} \Leftrightarrow i = \dfrac {\lambda \cdot D}{a}$.

V. Autres dispositifs d'interférences

1. Dispositifs par division de front d'onde

• C'est un dispositif par lequel il y a division géométrique du faisceau.

• Exemples d'interféromètres :

  $\circ\quad$ Miroirs de Fresnel ;

  $\circ\quad$ Biprisme de Fresnel ;

  $\circ\quad$ Demi-lentilles de Billet ;

  $\circ\quad$ Miroir de Lloyd ;

  $\circ\quad$ Bilentilles de Meslin.

2. Dispositifs par division d'amplitude (hors programme)

• C'est un dispositif par lequel il y a division énergétique du faisceau grâce à des lames semi réfléchissantes.

• Exemple : interféromètre de Michelson.

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