Inégalité de Bienaymé-Tchebychev – Inégalité de concentration

La variance d’une variable aléatoire mesure sa dispersion autour de son espérance. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et toutes les inégalités de concentration apportent des précisions sur cette dispersion.

Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs positives et si $E(X)$ désigne son espérance, alors, pour tout réel $a$ strictement positif : $P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a}$

En notant $\mu$ l’espérance de $X$, cette inégalité est parfois écrite sous la forme :

Pour tout réel $k \gt 0$, $P(X \geq k\mu) \leq \dfrac{1}{k}$.

On en déduit en particulier que la probabilité que $X$ prenne une valeur supérieure ou égale au double de son espérance est inférieure ou égale à $0,5$.

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité qu’une variable aléatoire $X$ s’écarte de son espérance d’une quantité supérieure ou égale à une valeur donnée.

Si $X$ est une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $V$, alors, pour tout réel $\delta \gt 0$ : $P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$

On peut aussi l’écrire : pour tout réel $k \gt 0$, $P(|X - \mu| \geq k) \leq \dfrac{1}{k^2}$.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $X_1, X_2, \dots, X_n$ un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité d’espérance $\mu$ et de variance $V$.

On note $M_n$ la moyenne de cet échantillon, c’est-à-dire $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$.

Alors, pour tout réel $\delta \gt 0$ : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n \delta^2}$

À noter

Ce résultat est une conséquence directe de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et d’un résultat vu au chapitre précédent : la variance de $M_n$ est $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$.

Méthode

Définir une taille d’échantillon en fonction de la précision et du risque choisis.

Pour une certaine variété de pois de senteur, la probabilité d’obtenir une fleur blanche est égale à $0,25$, la probabilité d’obtenir une fleur rose ou rouge est $0,75$.

Combien faut-il observer de fleurs de cette espèce pour que la fréquence de fleurs blanches soit comprise entre $0,2$ et $0,3$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,99$ ?

Conseils

En appelant $n$ la taille de l’échantillon, c’est-à-dire le nombre de fleurs à observer, introduisez la variable aléatoire égale à la fréquence de fleurs blanches dans un échantillon de taille $n$ et déterminez, en fonction de $n$, l’espérance et la variance de cette variable aléatoire.

Utilisez ensuite l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Soit $n$ le nombre de fleurs à observer, $F_n$ et $X_n$ les variables aléatoires donnant respectivement la fréquence et le nombre de fleurs blanches dans un échantillon de taille $n$. On a $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ et $X_n$ suit la loi binomiale $B(n ; 0,25)$.

La variance de $X_n$ est $V(X_n) = n \times 0,25 \times 0,75 = 0,1875n$ et celle de $F_n$ est $V(F_n) = \dfrac{V(X_n)}{n^2} = \dfrac{0,1875}{n}$.

$0,2 \lt F_n \lt 0,3$ équivaut à $|F_n - 0,25| \lt 0,05$.

On cherche donc $n$ tel que $P(|F_n - 0,25| \lt 0,05) \geq 0,99$.

Cette condition équivaut à $1 - P(|F_n - 0,25| \geq 0,05) \geq 0,99$, soit :

$P(|F_n - 0,25| \geq 0,05) \leq 0,01 \quad (*)$.

Or l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit que, pour tout $\delta \gt 0$ :

$P(|F_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$, avec $\mu = 0,25$, $V = \dfrac{0,1875}{n}$, et $\delta = 0,05$, on a :

$P(|F_n - 0,25| \geq 0,05) \leq \dfrac{0,1875}{n \times 0,05^2}$.

On cherche $n$ tel que (*) soit vérifiée, il suffit donc que $n$ vérifie $\dfrac{0,1875}{n \times 0,05^2} \leq 0,01$, soit $n \geq \dfrac{0,1875}{0,01 \times 0,05^2}$ c’est-à-dire $n \geq 7,500$.

Si on observe au moins $7,500$ fleurs, la fréquence de fleurs blanches est comprise entre $0,2$ et $0,3$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,99$.

Remarque : $0,05$ est la précision choisie (écart maximal par rapport à l’espérance) et $0,01$ est le risque choisi.