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Généralités sur les limites de suite

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Prérequis : Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir utiliser les suites arithmétiques et géométriques.

Enjeu : En complétant les notions vues en 1re, on va fournir des résultats sur le comportement en + des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre.

I- Limite d'une suite

1. Convergence de suite

Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite.

Définition : On dit qu'une suite (un) tend vers un nombre réel lorsque n tend vers + si tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné. Autrement dit, pour tout réel \varepsilon > 0 , on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier nn0, on a :
ε<un<+ε    un]ε;+ε[

On dit alors que la suite (un) converge vers et on note limn+un=.

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Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de qu'on le souhaite.

Propriété : Si une suite (un) a pour limite le réel , alors cette limite est unique.
Remarque : ε>0,n0N,nn0,un<ε

Propriétés :
i) limn+1n=0
ii) limn+1n=0
iii) limn+1n2=0
iv) Plus généralement, pour kN : limn+1nk=0

2. Divergence d’une suite

Définition :
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.

Définition :
Une suite (un) a pour limite + lorsque, pour tout réel A > 0, l’intervalle [A;+[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Autrement dit, pour tout réel A, on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier nn0, on a : unA.

On note : limn+un=+

Propriétés :

i) limn+n=+

ii) limn+n=+

iii) limn+n2=+

iv) Plus généralement, pour kN : limn+nk=+

Autre cas de suite dite divergente :

Définition :
Soit (un) une suite. Si les termes de (un) se dispersent, on dit que (un) n’a pas de limite. On dit qu’elle diverge.

Exemple :
un=(1)n

Remarque : Il existe deux façons de diverger : les termes de la suite se rapprochent d'un infini ou la suite n'a vraiment pas de limite (exemple de la suite alternée (un) avec un=(1)n).