Prérequis : Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir utiliser les suites arithmétiques et géométriques.
Enjeu : En complétant les notions vues en 1re, on va fournir des résultats sur le comportement en +∞ des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre.
I- Limite d'une suite
1. Convergence de suite
Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite.
Définition : On dit qu'une suite (un) tend vers un nombre réel ℓ lorsque n tend vers +∞ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné. Autrement dit, pour tout réel \varepsilon > 0 , on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier n≥n0, on a :
ℓ−ε<un<ℓ+ε ⟺ un∈]ℓ−ε;ℓ+ε[
On dit alors que la suite (un) converge vers ℓ et on note limn→+∞un=ℓ.
Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de ℓ qu'on le souhaite.
Propriété : Si une suite (un) a pour limite le réel ℓ, alors cette limite est unique.
Remarque : ∀ε>0,∃n0∈N,∀n≥n0,∣un−ℓ∣<ε
Propriétés :
i) limn→+∞1n=0
ii) limn→+∞1√n=0
iii) limn→+∞1n2=0
iv) Plus généralement, pour k∈N∗ : limn→+∞1nk=0
2. Divergence d’une suite
Définition :
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.
Définition :
Une suite (un) a pour limite +∞ lorsque, pour tout réel A > 0, l’intervalle [A;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel A, on peut trouver un rang n0 tel que, pour tout entier n≥n0, on a : un≥A.
On note : limn→+∞un=+∞
Propriétés :
i) limn→+∞n=+∞
ii) limn→+∞√n=+∞
iii) limn→+∞n2=+∞
iv) Plus généralement, pour k∈N∗ : limn→+∞nk=+∞
Autre cas de suite dite divergente :
Définition :
Soit (un) une suite. Si les termes de (un) se dispersent, on dit que (un) n’a pas de limite. On dit qu’elle diverge.
Exemple :
un=(−1)n
Remarque : Il existe deux façons de diverger : les termes de la suite se rapprochent d'un infini ou la suite n'a vraiment pas de limite (exemple de la suite alternée (un) avec un=(−1)n).