Forces d'interaction gravitationnelle

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La gravitation universelle a été découverte par Newton au XVIIe siècle. Le mouvement de la Lune autour de la Terre est la manifestation d’une action à distance appelée interaction gravitationnelle.

I Intensité des forces gravitationnelles

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Deux corps A et B s’attirent en exerçant l’un sur l’autre des forces d’interaction gravitationnelle.
D’après le principe des actions réciproques, la force exercée par A sur B est opposée à la force exercée par B sur A : FB/A→=− FA/B→\overrightarrow{F_{B/A}}=- \overrightarrow{F_{A/B}}.
Ces forces ont la même intensité, proportionnelle à leurs masses mAm_A et mBm_B et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui sépare les corps A et B :
FA/B=FB/A=G×mA×mBdAB2F_{A/B}= F_{B/A} = \dfrac{G \times m_A \times m_B}{d^2_{AB}}
avec : FA/BF_{A/B} et FB/AF_{B/A} en newtons (N) ; mAm_A et mBm_B en kilogrammes (kg) et dd en mètres (m).
G est la constante de gravitation universelle : G=6,67×10−11G= 6,67\times 10^{-11} N⋅m2⋅kg-2.
Repère
À noter
Cette expression n’est valable que pour des objets « ponctuels » (dont la taille est petite devant la distance qui les sépare) ou des objets sphériques à répartition homogène de masse (c’est le cas des astres par exemple). G est une grandeur « universelle » car elle est constante dans tout l’Univers.

II Expression vectorielle des forces gravitationnelles

Exemple :
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En choisissant un vecteur unitaire u→\overrightarrow u dirigé de la Terre vers la Lune, on peut exprimer la force exercée sur la Terre vectoriellement :
FL/T→=G×mT×mLd2 u→\overrightarrow{F_{L/T}}= G \times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2} ~\overrightarrow{u}.
La force exercée sur la Lune étant dans l’autre sens : FT/L→=−G×mT×mLd2 u→\overrightarrow{F_{T/L}}=-G \times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2}~\overrightarrow{u}

Repère
À noter
Cette expression est généralisable à toute interaction gravitationnelle entre deux corps A et B
Méthode : Calculer l’intensité des forces d’interaction gravitationnelle
a. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune. La comparer à la valeur de la force exercée par la Lune sur la Terre.
b. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur une pomme de masse 70 g proche du sol.
c. Que peut-on dire de la force d’attraction gravitationnelle entre deux pommes de 70 g séparées de 50 cm ?
Données :
• MTerre=5,98×1024M_{\text{Terre}} = 5,98 \times 10^{24} kg et MLune=7,35×1022 kgM_{\text{Lune}}= 7,35 \times 10^{22}~kg ;
• Distance Terre-Lune : dT/L=3,84×108 md_{T/L} = 3,84 \times 10^8~m ;
• Rayon de la Terre : RT=6 380 kmR_T = 6\,380~km.
Repère

Conseils
a. Utilisez la formule donnant l’intensité des forces d’interaction gravitationnelles sans oublier le carré de la distance au dénominateur de l’expression.
b. La distance d à prendre en compte est celle qui sépare les centres des objets : recherchez la donnée correspondante en faisant attention aux unités.
c. Attention aux unités : les masses sont en kg et les distances en m.
Solution
a. D’après la loi de la gravitation universelle :
FT/L=G×mT×mLdT/L2F_{T/L} = G \times \dfrac{m_T \times m_L}{d_{T/L}^2}

FT/L=6,67×10−11×5,98×1024×7,35×1022(3,84×108)2{\phantom{F_{T/L}}= 6,67 \times 10^{-11}\times \dfrac{5,98\times 10^{24} \times 7,35 \times 10^{22}}{(3,84 \times 10^8)^2}}

FT/L=1,99×1020 N{\phantom{F_{T/L}}= 1,99 \times 10^{20}}~N  .
La force exercée par la Lune sur la Terre a la même valeur que la force exercée par la Terre sur la Lune : FL/T=FT/L=1,99×1020 NF_{L/T}= F_{T/L}=1,99\times 10^{20}~N.
b. La distance à prendre en compte pour le calcul est le rayon terrestre RTR_T et il doit être exprimé en mètres : 6 380 km=6 380 000 m=6,38×106 m6~380 ~km =6~380~000~m = 6,38 \times 10^{6}~m.
FT/P=G×mT×mPdT/P2F_{T/P}= G \times \dfrac{m_T \times m_P}{d_{T/P}^2}

FT/P=6,67×10−11×5,98×1024×70×10−3(6,38×106)2{\phantom{F_{T/P}}=6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5,98 \times 10^{24} \times 70 \times 10^{-3}}{(6,38 \times 10^6)^2}}

FT/P=0,69{\phantom{F_{T/P}}=0,69} N.
c. Entre deux pommes séparées de 50 cm = 0,50 m (distance exprimée en m) ayant une masse de 70 g=70×10−3 kg70~g = 70 \times 10^{-3}~ kg (masse exprimée en kg)
FP/P=G×mP×mPdP/P2F_{P/P}=G\times \dfrac{m_P\times m_P}{d_{P/P}^2}

FP/P=6,67×10−11×70×10−3×70×10−3(0,50)2{\phantom{F_{P/P}}=6,67\times 10^{-11}\times \dfrac{70\times 10^{-3}\times 70\times 10^{-3}}{(0,50)^2}}

FP/P=1,3×10−12 N{\phantom{F_{P/P}}=1,3\times 10^{-12}}~N .
Cette force est extrêmement petite comparée à FT/PF_{T/P}.
À noter
Les forces gravitationnelles se manifestent surtout lorsqu’un au moins des deux corps est massif (astre par exemple).
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