Fonctions exponentielles x → ax

I. Extension de aⁿ

Définition
Soit a un nombre strictement positif fixé.
Il existe une fonction f définie et dérivable sur ℝ, notée f : x ↦ a^x, qui étend aux puissances non entières la définition et les propriétés algébriques des puissances entières.
La fonction f : x ↦ a^x est appelée fonction exponentielle (de base a).
La touche ou de la calculatrice permet d’obtenir les valeurs numériques de a^x avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale STMG.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tout réel x, a^x > 0.

On admet que les propriétés algébriques des puissances entières s’étendent aux puissances non entières.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tous réels x et y :

a^x × a^y = a^x+y ;  (a^x)^y = a^xy ;  a−x=1ax ;  axay=ax−y.

II. Sens de variation et courbe représentative des fonctions x ↦ a^x

1) Sens de variation

Soit a un nombre strictement positif fixé.

• Si a > 1, la fonction exponentielle x ↦ a^xest strictement croissante sur ℝ.

• Si 0 < a < 1, la fonction exponentielle x ↦ a^x est strictement décroissante sur ℝ.

2) Courbe représentative

On obtient deux types de courbes représentatives selon que a > 1 ou que 0 < a < 1.

III. Sens de variation des fonctions x ↦ ka^x

Soit a un nombre strictement positif fixé et soit k un nombre non nul fixé.

• Si k > 0, la fonction x ↦ ka^x a le même sens de variation que la fonction x ↦ a^x.

• Si k < 0, la fonction x ↦ ka^x a le sens de variation contraire à celui de la fonction x ↦ a^x.

IV. Taux d’évolution moyen

t étant le taux d’évolution global pendant une certaine période,

le taux d’évolution moyen équivalent tm pendant une période n fois plus courte est défini par la relation :

1+tm=1+t1n.