I. Dérivée et sens de variation
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur ℝ*=− ∞, 0∪ 0, + ∞ par fx=1x.
1) Dérivée de la fonction inverse
La dérivée de la fonction inverse f : x↦1x est la fonction f′ définie sur ℝ* par f′x=−1x2.
Exemple
f′1=− 1 ; f′−1=− 1 ; f′2=−14.
2) Sens de variation de la fonction inverse
Sur chacun des deux intervalles − ∞, 0 et 0,+ ∞, f′x=−1x2<0 ; donc
la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles.
II. Courbe représentative
Nous savons que la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole : elle est composée de deux branches symétriques par rapport à l’origine du repère.
Sur le graphique, l’hyperbole vient se coller contre l’axe des abscisses sans le toucher car 1x ≠ 0. Il en est de même pour l’axe des ordonnées. Ces deux axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole.
