Fonction inverse - Mathématiques - Seconde

La fonction inverse a pour courbe représentative une hyperbole. Elle a un centre de symétrie.

I Définition et propriétés

La fonction inverse est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par :

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ et décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

En effet, pour tous réels a et b non nuls :

$f\left(b\right)–f\left(a\right)=\frac{1}{b}–\frac{1}{a}=\frac{a}{ab}–\frac{b}{ab}=\frac{a–b}{ab}$.

Donc, si a ⩽ b et a et b de même signe (et non nuls) : d’une part a – b ⩽ 0 et d’autre part, comme le produit de deux nombres de même signe est positif,

ab ⩾ 0, donc $\frac{a–b}{ab}\le 0$. On a alors f(b) – f(a) ⩽ 0, soit f(a) ⩾ f(b).

La fonction inverse est impaire, car pour tout x ∈ ℝ,$f(–x)=\frac{1}{–x}=–\frac{1}{x}=–f\left(x\right)$.

La courbe représentative de la fonction inverse a donc un centre de symétrie qui est l’origine du repère. Cette courbe s’appelle une hyperbole.

II Les hyperboles $x\mapsto \frac{1}{x}$ et $x\mapsto –\frac{1}{x}$

1 Résoudre graphiquement des équations

Au vu des courbes ci-contre, quelles sont les solutions des équations $\frac{1}{x}=x^2$ et $–\frac{1}{x}=x^2$ ?

Repère
ConseilS

Repérez les représentations graphiques des fonctions x ↦ x², $x\mapsto \frac{1}{x}$ et $x\mapsto –\frac{1}{x}$.

solution

• La figure permet de résoudre l’équation $\frac{1}{x}=x^2$. En effet les courbes 𝒞1 et 𝒞3 des fonctions x ↦ x² et $x\mapsto \frac{1}{x}$ se coupent en un seul point d’abscisse 1, solution unique de l’équation .

• De même, 𝒞1 et 𝒞2 se coupent en un point d’abscisse –1, solution de l’équation $–\frac{1}{x}=x^2$.

2 Résoudre graphiquement des inéquations

Quelles sont les inéquations dont les parties hachurées peuvent représenter les solutions ?

conseilS

Repérez les fonctions représentées ( pour la courbe bleue).

solution

La courbe bleue est la cubique d’équation y = x³.

La courbe rouge représente l’hyperbole d’équation $y=\frac{1}{x}$.

L’intervalle ]–∞ ; –1] est l’ensemble des nombres négatifs solutions de l’inéquation $\frac{1}{x}\ge x^3$ car, sur cet intervalle, l’hyperbole est au-dessus de la cubique. De même, l’intervalle ]0 ; 1] est l’ensemble des nombres strictement positifs solutions de l’inéquation $\frac{1}{x}\ge x^3$. Cette inéquation a donc pour solutions les nombres de l’ensemble ]–∞ ; –1] ∪ ]0 ; 1]. De même, l’inéquation $\frac{1}{x}>x^3$ a pour solutions ]–∞ ; –1[ ∪ ]0 ; 1[, partie hachurée sur la figure.