Fonction cube

La fonction cube est particulière. Sa courbe, une cubique, a une allure typique, bien différente des droites et des paraboles. Elle est caractérisée par un fort ralentissement de sa croissance sur l’intervalle [–1 ; 1].

I Définition et propriétés

La fonction cube est la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = x³

La fonction cube est croissante sur ℝ (démonstration).

La fonction cube est impaire car, pour tout x ∈ ℝ, f(–x) = (–x)³ = –x³ = –f(x). La courbe représentative de la fonction cube a donc un centre de symétrie qui est l’origine du repère où elle est tracée. Cette courbe s’appelle une cubique.

Le tableau ci-dessous suggère qu’au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbe sont proches de 0. C’est pourquoi au voisinage de l’origine du repère la courbe est très aplatie.

II Les cubique x ↦ kx³ où k est une constante

Méthode

1 Classer les cubes de deux nombres

On considère deux nombres x et y et on suppose x < y. On veut démontrer qu’alors x³ < y³.

a. Examiner le cas où x et y sont de signes contraires.

Repère
ConseilS

a. Quel est le signe du cube d’un nombre négatif ?

b. Il suffit de développer le membre à gauche de l’égalité.

c. Quel est le signe du produit de deux nombres de même signe ?

b. Montrer que pour tous réels a et b : (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³.

c. En déduire le résultat annoncé quand x et y sont de même signe.

d. Qu’en déduit-on sur les variations de la fonction cube ?

solution

a. Le cube d’un nombre négatif étant négatif et le cube d’un nombre positif étant positif, si on a x < 0 < y alors x³ < 0 < y³ donc x3 < y3.

b. Développons : (a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³ = a³ – b³.

c. Supposons x et y de même signe. Alors le produit xy est positif. Donc x² + xy + y² est positif.

Par conséquent, puisque x – y est négatif, (x – y)(x²+ xy + y²) est négatif également. Il en résulte que x³ – y³ est négatif, donc x3 < y3.

d. On en déduit que la fonction cube est croissante sur ℝ car dans tous les cas x < y ⇒ x³ < y³.

2 Résolution graphique d’une inéquation

Utiliser les courbes ci-contre pour résoudre l’inéquation x ⩾ x³.

conseilS

Repérer les intervalles où la droite est au-dessus de la cubique.

solution

Les points d’intersection de la droite et de la cubique ont pour abscisses respectives –1 et 1.

Les nombres x solutions de l’inéquation sont les abscisses des points où la droite est au-dessus de la courbe.

Ce sont les nombres de l’ensemble ]–∞ ; –1] ∪ [0 ; 1], qui est l’ensemble des solutions cherché.