Étude vectorielle du parallélisme dans l’espace

Après l’étude des positions relatives de droites et de plans dans l’espace, cette fiche propose d’étudier vectoriellement le cas particulier du parallélisme entre droites et plans de l’espace.

I. Caractérisation vectorielle d’une droite et d’un plan de l’espace

1) Droites de l’espace

Soit A un point et $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul.

La droite passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points M de l’espace pour lesquels il existe $t\in \textbf R$ tel que :

$\overrightarrow{AM}=t~\overrightarrow{u}$.

2) Plan de l’espace

Un vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul de l’espace est un vecteur normal à un plan P lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P.

Le plan passant par A et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux, c’est-à-dire que $\overrightarrow{AM}~.~\overrightarrow{n}=0$.

II. Étude vectorielle du parallélisme dans l’espace

Parallélisme de deux droites de l’espace

Soit D et Δ des droites ayant pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$.

D /​/ Δ $\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \text{ et }\overrightarrow{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ Il existe $a\in \textbf R$ tel que $\overrightarrow{v}=a~\overrightarrow{u}$.

Parallélisme d’une droite et d’un plan de l’espace

Soit D une droite et P un plan de l’espace, $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ un vecteur directeur de D et $\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}$  un vecteur normal à P.

D // P $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \overrightarrow{n}~.~\overrightarrow{u}=0$

Parallélisme de deux plans de l’espace

Soit P et P′ deux plans de l’espace, $\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}$ un vecteur normal à P et $\overrightarrow{n'}\neq \overrightarrow{0}$ un vecteur normal à P′.

P // P′ $\Leftrightarrow \overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ Il existe $a\in \textbf R$ tel que $\overrightarrow{n'}=a~\overrightarrow{n}$.

Conseils

Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, vecteurs directeurs respectifs de la droite D et de la droite D′, sont colinéaires.

Conseils

Étape 1 Dans tous les cas, déterminez un vecteur normal aux plans considérés à partir de leur équation cartésienne.

Étape 2 Démontrez ensuite qu’un vecteur normal à P₂ est colinéaire à un vecteur normal à P₁.