Espérance, variance, écart-type

I. Espérance

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_n$.

L’espérance de $X$ est le nombre réel défini par :

$E(X) = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i p_i$

Propriétés : (Linéarité de l’espérance)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires, $a$ un réel non nul et $b$ un réel.

$\circ\quad E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

$\circ\quad E(aX) = aE(X)$

$\circ\quad E(aX + b) = aE(X) + b$

II. Variance

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_n$.

La variance de $X$ est le nombre réel positif défini par :

$Var(X) = p_1 (x_1 - E(X))^2 + \dots + p_n (x_n - E(X))^2 = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i (x_i - E(X))^2$

Remarque :
On peut également calculer la variance de $X$ en utilisant : $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Propriétés :

$\circ\quad$ Soit $X$ une variable aléatoire et $a$ un réel non nul.
$Var(aX) = a^2 Var(X)$

$\circ\quad$ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes.
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :
$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$

Exemple :

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes telles que : $Var(X) = 1,25$ et $Var(Y) = 5$

Donc : $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 1,25 + 5 = 6,25$

$Var(3X) = 3^2 Var(X) = 9 \times 1,25 = 11,25$

III. Écart-type

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire. L’écart-type de $X$ est le nombre réel positif défini par :

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

Propriété :

Soit $X$ une variable aléatoire et $a$ un réel non nul. On a : $\sigma(aX) = |a| \sigma(X)$

IV. Application à la loi binomiale

Propriété :

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(n, p)$. On a :

$\circ\quad E(X) = np$

$\circ\quad Var(X) = np(1 - p)$

$\circ\quad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$