Équation trigonométrique : sin(x)=sin(a)

$\sin U = \sin V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \text{ ou } U=\pi -V+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \mathbf{Z}$

Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.

Exemple :

Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équation :

$\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On reconnaît que : $\sin x = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Donc :

$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Cela donne :

$S_{\mathbb{R}} = \left\lbrace -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \; ; \; -\dfrac{2\pi}{3} + 2k'\pi \;,\quad k \text{ et } k' \in \mathbb{Z}\right\rbrace$