Remarque importante : Pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.
Équation cosinus dans R
Théorème :
cosU=cosV équivaut à dire :
U=V+k2π ou U=−V+k′2π avec k et k′ dans Z
Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.
Exercice 1
Résoudre dans R l'équation d'inconnue x, cos(2x)=√32
Étape 1 : Identifier une valeur dont le cosinus est √32
Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses. On sait que √32 est le cosinus de π6.
Étape 2 : Reformuler l'équation sous la forme cosU=cosV
L'équation proposée revient donc à écrire :
x∈R,cos(2x)=cos(π6)
On applique alors la propriété rappelée ci-dessus :
cos(2x)=cos(π6)⟺2x=π6+k2π ou 2x=−π6+k′2π avec k,k′∈Z
Étape 3 : Terminer les calculs si besoin
On divise par 2 chaque membre de chaque égalité :
x=π12+kπ ou x=−π12+k′π avec k,k′∈Z
Étape 4 : Conclusion
L'énoncé demandait les solutions dans R. L'ensemble solution est donc :
S={π12+kπ ,−π12+k′π;,(k,k′)∈Z2}