Un échantillon est généralement un sous-ensemble d’une population. Ici un échantillon correspondra à des répétitions indépendantes d’une expérience modélisée par une même loi.
I. Taille d’un échantillon
Une loi de probabilité étant donnée, on appelle échantillon de taille n (ou n-échantillon) de cette loi une liste (X1, X2, …, Xn) de n variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.
Une suite x1 ; x2 ; … ; xn de valeurs prises par les variables aléatoires Xi(1≤i≤n) est une réalisation de l’échantillon.
À noter
Toute réalisation de l’échantillon peut être assimilée à une suite de tirages « avec remise » ; la « remise » entre deux tirages successifs correspond à l’indépendance des variables aléatoires X1, X2, …, Xn.
Dans toute cette fiche, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On suppose usuellement que la taille n de l’échantillon est « beaucoup plus petite » que celle de la population.
II. Somme et moyenne d’un échantillon
1) Définition de la somme et de la moyenne
Soit (X1, X2, …, Xn) un échantillon de taille n d’une loi de probabilité.
On pose Sn=X1+X2+…+Xn (somme) et Mn=Snn (moyenne).
Puisque les variables aléatoires X1, X2, …, Xn ont la même loi, elles ont la même espérance, notée m, la même variance, notée σ2, et le même écart type, noté σ.
2) Espérance
D’après les propriétés de l’espérance : E(Sn)=nm et E(Mn)=m
3) Variance
D’après les propriétés de la variance : V(Sn)=nσ2 et V(Mn)=1nσ2
On en déduit l’écart type des variables aléatoires Sn et Mn :
σ(Sn)=nσ et σ(Mn)=σn.
Remarque : On constate que, lorsque n augmente, V(Mn) et σ(Mn) diminuent.
La dispersion de la moyenne Mn diminue lorsque la taille n de l’échantillon augmente.
Méthode
Déterminer l’espérance et la variance de la moyenne de deux variables aléatoires identiques et indépendantes
Soit X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur {2, 3, 6, 8, 11}. On note M2 la moyenne de X1 et X2 : M2=X1+X22.
a. Calculer l’espérance E(M2) et la variance V(M2) de M2 à partir de celles de X1 et X2.
b. Établir la loi de M2 et retrouver la valeur de son espérance.
Conseils
b. Utiliser un tableau à double entrée, ou bien lister tous les couples possibles pour X1 ; X2.
Solution
a. E(M2)=E(X1)=E(X2)=m et m=2+3+6+8+115=6.
Si on pose V(X1)=V(X2)=σ2, alors V(M2)=σ22.
D’où VM2=10,82=5,4.
b. En listant les 25 couples (tous équiprobables) de valeurs possibles pour X1 ; X2 et en calculant pour chacun la moyenne des deux valeurs, on obtient la loi de M2.
