Échantillon de taille n d’une loi de probabilité

Un échantillon est généralement un sous-ensemble d’une population. Ici, un échantillon correspondra à des répétitions indépendantes d’une expérience modélisée par une même loi.

Une loi de probabilité étant donnée, on appelle échantillon de taille $n$ (ou $n$-échantillon) de cette loi une liste $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.

Une suite $x_1, x_2, \dots, x_n$ de valeurs prises par les variables aléatoires $X_i$ $(1 \leq i \leq n)$ est une réalisation de l’échantillon.

À noter

Toute réalisation de l’échantillon peut être assimilée à une suite de tirages « avec remise » ; la « remise » entre deux tirages successifs correspond à l’indépendance des variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$.

Dans toute cette fiche, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose usuellement que la taille $n$ de l’échantillon est « beaucoup plus petite » que celle de la population.

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité.

On pose $S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ (somme) et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ (moyenne).

Puisque les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ ont la même loi, elles ont la même espérance, notée $m$, la même variance, notée $\sigma^2$, et le même écart type, noté $\sigma$.

Espérance

D’après les propriétés de l’espérance : $E(S_n) = n m$ et $E(M_n) = m$

Variance

D’après les propriétés de la variance : $V(S_n) = n \sigma^2$ et $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$

On en déduit l’écart type des variables aléatoires $S_n$ et $M_n$ :

$\sigma(S_n) = \sqrt{n} \sigma$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Remarque : On constate que, lorsque $n$ augmente, $V(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ diminuent.

La dispersion de la moyenne $M_n$ diminue lorsque la taille $n$ de l’échantillon augmente.

Méthode : Déterminer l’espérance et la variance de la moyenne de deux variables aléatoires identiques et indépendantes

Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur ${2, 3, 6, 8, 11}$. On note $M_2$ la moyenne de $X_1$ et $X_2$ : $M_2 = \dfrac{X_1 + X_2}{2}$.

a. Calculer l’espérance $E(M_2)$ et la variance $V(M_2)$ de $M_2$ à partir de celles de $X_1$ et $X_2$.

b. Établir la loi de $M_2$ et retrouver la valeur de son espérance.

Conseils

c. Utiliser un tableau à double entrée ou bien lister tous les couples possibles pour $X_1$ et $X_2$.

Solution

a. $E(M_2) = E(X_1) = E(X_2) = m$, avec $m = \dfrac{2 + 3 + 6 + 8 + 11}{5} = 6$.

Si on pose $V(X_1) = V(X_2) = \sigma^2$, alors $V(M_2) = \dfrac{\sigma^2}{2}$.

Ainsi, $V(M_2) = \dfrac{10,8}{2} = 5,4$.

b. En listant les $25$ couples (tous équiprobables) de valeurs possibles pour $X_1$ et $X_2$, et en calculant pour chacun la moyenne des deux valeurs, on obtient la loi de $M_2$.