Lorsqu’une variable aléatoire est continue, on calcule non pas la probabilité d’apparition d’une valeur donnée, mais celle de tomber dans un intervalle de valeurs.
I. Densité de probabilité
Définition : Une densité de probabilité est une fonction f définie sur ℝ, positive, continue par morceaux et telle que ∫− ∞+ ∞f(t)dt=1.
Définition : Une fonction continue par morceaux est une fonction qui est continue sauf en un nombre fini de points.
Calcul de l’intégrale : Soit a un nombre quelconque, si limx→+ ∞∫axf(t)dt existe et est finie, de valeur ℓ1 et si limx→− ∞∫xaf(t)dt existe et est finie de valeur ℓ2 alors ∫− ∞+ ∞f(t)dt=ℓ1+ℓ2.
Graphiquement, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.
II. Loi d’une variable aléatoire continue
Définition : Soit f une densité de probabilité. Dire qu’une variable aléatoire X a pour loi la densité f signifie que pour tout x ∈ ℝ :
P(X ⩽ x)=P(X < x)=∫− ∞xf(t)dt
Dans ce cas on dit que X est une variable aléatoire continue.
Définition : La fonction F : x ↦ P(X ≤ x) s’appelle la fonction de répartition de X.
P(a ⩽ X ⩽ b)=P(a<X<b)=F(b)−F(a)=∫abf(t)dt
En effet, P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = F(b) − F(a) et
P(a ⩽ X ⩽ b)=∫− ∞bf(t)dt − ∫− ∞af(t)dt = ∫−∞af(t)dt + ∫abf(t)dt − ∫− ∞af(t)dt = ∫abf(t)dt.
Méthode
Reconnaître une densité de probabilité
1. Soit f la fonction définie par f(x)=kx2 si x ∈ [1 ; 5] et f(x) = 0 si x ∉ [1 ; 5].
a. Tracer sommairement la représentation graphique de f pour k=14.
b. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. Mêmes questions pour f(x)=kx2 si x ∈ [1 ; +∞[ et f(x) = 0 sinon.
Conseils
1. et 2.f doit vérifier toutes les conditions que doit remplir une densité de probabilité.
1. a. Figure ci-contre.
b.f est visiblement positive (produit d’un carré par un nombre positif) ; elle est continue par morceaux (il y a une coupure aux points d’abscisses 1 et 5).
De plus ∫− ∞+ ∞f(x)dx=∫15kx2dx=k[−1x]15=k(1−15)=4k5.
Pour que 4k5=1, il faut et il suffit que 4k5=1 c’est-à-dire k=54.
2. Figure ci-contre.
Comme précédemment, f est positive et continue par morceaux et :
∫1xkt2dt=k[−1t]1x=k(1−1x).
De plus limx→+ ∞∫1xkt2dt = limx→+ ∞ k(1−1x) = k car limx→+ ∞1x=0.
On en déduit que ∫1+ ∞kt2 dt=k. Par conséquent il suffit de choisir k = 1 pour que f soit une densité de probabilité.