Densité de probabilité et variables aléatoires continues

Lorsqu’une variable aléatoire est continue, on calcule non pas la probabilité d’apparition d’une valeur donnée, mais celle de tomber dans un intervalle de valeurs.

Définition : Une densité de probabilité est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, positive, continue par morceaux et telle que $\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) , dt = 1.\end{aligned}$

Définition : Une fonction continue par morceaux est une fonction qui est continue sauf en un nombre fini de points.

Calcul de l’intégrale : Soit $a$ un nombre quelconque, si $\lim\limits_{x \to +\infty} \begin{aligned}\int\limits_{a}^{x} f(t) , dt\end{aligned}$ existe et est finie, de valeur $\ell_1$, et si $\lim\limits_{x \to -\infty} \begin{aligned}\int\limits_{x}^{a} f(t) , dt\end{aligned}$ existe et est finie, de valeur $\ell_2$, alors $\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) , dt = \ell_1 + \ell_2.\end{aligned}$

Graphiquement, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

Définition : Soit f une densité de probabilité. Dire qu’une variable aléatoire X a pour loi la densité f signifie que pour tout x ∈ ℝ :

Dans ce cas, on dit que $X$ est une variable aléatoire continue.

Définition : La fonction $F : x \mapsto P(X \leq x)$ s’appelle la fonction de répartition de $X$.

En effet, $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \lt a) = F(b) - F(a)$ et

1.Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x) = kx^2$ si $x \in [1; 5]$
$f(x) = 0$ si $x \notin [1; 5]$.

a. Tracer sommairement la représentation graphique de $f$ pour $k = \dfrac{1}{4}$.

b. Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.

2.Mêmes questions pour $f(x) = kx^2$ si $x \in [1; +\infty[$ et $f(x) = 0$ sinon.

1. a. Figure ci-contre.

b.$f$ est visiblement positive (produit d’un carré par un nombre positif) ; elle est continue par morceaux (il y a une coupure aux points d’abscisses 1 et 5).

De plus, $\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = \int\limits_{1}^{5} kx^2 , dx = k \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} = k \left( \dfrac{125}{3} - \dfrac{1}{3} \right) = k \cdot \dfrac{124}{3}.\end{aligned}$

Pour que $\dfrac{124}{3}k = 1$, il faut et il suffit que $k = \dfrac{3}{124}$.

2. Figure ci-contre.

Comme précédemment, $f$ est positive et continue par morceaux et :

$\begin{aligned}\int_{1}^{x} kt^2 \, dt\end{aligned} = k \left[ \dfrac{t^3}{3} \right]_{1}^{x} = k \left( \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{3} \right)$.

De plus, $\lim\limits_{x \to +\infty} \begin{aligned}\int_{1}^{x} kt^2 \, dt \end{aligned}= \lim\limits_{x \to +\infty} k \left( \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{3} \right) = k \cdot \infty$ .

Ainsi, $f$ ne peut pas être une densité de probabilité pour cette définition.